Question

Решить дифференциальные уравнения y'=y²

Answer 1

$y'=\frac{dy}{dx}\\\\\frac{1}{dx}=\frac{y^2}{dy}\\\\\int\limits {1} \, dx =\int\limits {\frac{1}{y^2} } \, dy \\\\x=-\frac{1}{y}+C \\\\\frac{1}{y} =C-x\\\\y=\frac{1}{C-x}$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения y' = y², можно использовать метод разделения переменных. Давайте начнем:

1. Разделим уравнение, переместив все выражения, содержащие y, в одну сторону, а все выражения, содержащие t (независимую переменную), в другую сторону:

   dy/y² = dt

2. Проинтегрируем обе части уравнения:

   ∫dy/y² = ∫dt

   Левая часть: ∫dy/y² = ∫y^(-2)dy = -y^(-1)

   Правая часть: ∫dt = t + C

   (где C - постоянная интегрирования)

3. Теперь у нас есть:

   -y^(-1) = t + C

4. Разрешим уравнение относительно y:

   -1/y = t + C

   Для избавления от дроби, возьмем обратное значение от обеих сторон:

   y = -1/(t + C)

   Где (t + C) не равно 0.

Таким образом, решение дифференциального уравнения y' = y² имеет вид:

y = -1/(t + C),

где C - произвольная постоянная.