Question

Довести що abc+bca+cab ділиться на ціло на 111

Answer 1

Відповідь:

1) abc + bca + cab = 100a + 10b + с + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b = 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c).

Оскільки 111(a + b + c) ділиться без остачі на 111, то твердження задачі доведено.

2) abc - (а + b + с) = 100а + 10b + с - а - b - с = 99а + 9b = 9(11а + b).

Оскільки 9(11а + b) ділиться без остачі на 9, то твердження задачі доведено.

Пояснення:

Answer 2

Щоб довести, що вираз abc + bca + cab ділиться націло на 111, ми можемо розглянути його модуль за остачею від ділення на 111 і показати, що ця остача дорівнює нулю.

Запишемо вираз abc + bca + cab у вигляді суми трьох доданків:

abc + bca + cab = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)

Розкриваємо дужки та групуємо однакові змінні:

= (100a + 10b + 100b + 10c + 100c + 10a) + (c + a + b)

Спрощуємо:

= (110a + 110b + 110c) + (a + b + c)

= 111(a + b + c) + (a + b + c)

Тепер можемо помітити, що (a + b + c) є спільним множником обох доданків. Таким чином, вираз abc + bca + cab можна записати як:

= (111 + 1)(a + b + c)

= 112(a + b + c)

Таким чином, ми бачимо, що abc + bca + cab дорівнює 112 помноженому на (a + b + c). Оскільки (a + b + c) є цілим числом, то abc + bca + cab також ділиться націло на 112.

Оскільки 111 і 112 є взаємно простими числами, це означає, що abc + bca + cab ділиться націло на 111.