Question

В арифметической прогрессии первый член 2 и разность d=3. a) Найдите десятый член прогрессии и сумму первых десяти членов прогрессии. b) Обозначим n-й член прогрессии через an. Найдите наименьшее натуральное число n такое, что an>120.

Answer 1

       $\boldsymbol{a_1=2;\ \ \ \ d=3}$

а)

$a_n=a_1+d(n-1)\\a_{10}=a_1+d(10-1)=2+3\cdot 9=29\\\\S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n\\\\S_{10}=\dfrac{a_1+a_{10}}2\cdot 10=\dfrac{2+29}2\cdot 10=31\cdot 5=155\\\\\boxed{\boldsymbol{a_{10}=29;\ \ \ S_{10}=155}}$

б)

$~~~~~~~~~~~~~~a_n>120\\a_1+d(n-1)>120\\2+3(n-1)>120\\2+3n-3>120\\~~~~~~~~~~3n>121;~~~~~~n>40\dfrac 13\\\boxed{\boldsymbol{n=41}}$

Answer 2

a) Для арифметической прогрессии с первым членом a₁ = 2 и разностью d = 3, мы можем использовать формулы для нахождения n-го члена прогрессии (aₙ) и суммы первых n членов прогрессии (Sₙ).

Формула для нахождения n-го члена прогрессии: aₙ = a₁ + (n - 1) * d

Подставляя известные значения: a₁ = 2 d = 3 n = 10

a₁₀ = 2 + (10 - 1) * 3 = 2 + 9 * 3 = 2 + 27 = 29

Таким образом, десятый член прогрессии равен 29.

Формула для нахождения суммы первых n членов прогрессии: Sₙ = (n / 2) * (2a₁ + (n - 1) * d)

Подставляя известные значения: a₁ = 2 d = 3 n = 10

S₁₀ = (10 / 2) * (2 * 2 + (10 - 1) * 3) = 5 * (4 + 9 * 3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155

Таким образом, сумма первых десяти членов прогрессии равна 155.

b) Нам нужно найти наименьшее натуральное число n, для которого aₙ > 120.

Используя формулу для aₙ: aₙ = a₁ + (n - 1) * d

Подставляя известные значения: a₁ = 2 d = 3

aₙ > 120 2 + (n - 1) * 3 > 120

Решаем неравенство: (n - 1) * 3 > 118 n - 1 > 118 / 3 n > 39.33

Наименьшее натуральное число, которое больше 39.33, составляет 40.

Таким образом, наименьшее натуральное число n такое, что aₙ > 120, равно 40.