Question

Докажите что 8 в 5 степени +2 в одиннадцатой степени делится на 17

Answer 1

$8^5+2^{11}=(2^3)^5+2^{11}=2^{15}+2^{11}=2^{11}(2^4+1)=\\\\=2^{11}(16+1)=2^{11}*17$

Итак, мы представили сумму чисел в виде произведения, один из множителей которого равен 17, следовательно, это произведение делится на 17, значит, первоначальное выражение также делится на 17.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Мы хотим доказать, что число $8^5 + 2^{11}$ делится на 17.

Заметим, что $8^5 = (2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$.

Теперь выразим $2^{15}$ и $2^{11}$ в виде кратных $17$:

• $2^{15} = 32768 = 17 \cdot 1928 + 4$
• $2^{11} = 2048 = 17 \cdot 120 + 8$

Теперь подставим значения обратно в исходное выражение:

$8^5 + 2^{11} = 2^{15} + 2^{11} = (17 \cdot 1928 + 4) + (17 \cdot 120 + 8) = 17 \cdot (1928 + 120) + 12 = 17 \cdot 2048 + 12$

Мы видим, что $8^5 + 2^{11}$ представляется в виде $17 \cdot \text{число} + 12$.

Таким образом, остаток при делении $8^5 + 2^{11}$ на 17 равен 12.

И поскольку остаток не равен нулю, число $8^5 + 2^{11}$ не делится на 17.