Question

Найдите действительные и комплексные корни многочлена x^5-6x^4+28x^3-74x^2+51x

Answer 1

$x^5-6x^4+28x^3-74x^2+51x=0\\x(x^4-6x^3+28x^2-74x+51)=0\\x_1=0\\x^4-6x^3+28x^2-74x+51=0\\P(1)=1-6+28-74+51=0\Rightarrow x_2=1\\x^4-6x^3+28x^2-74x+51=(x-1)(x^3+ax^2+bx+c)=\\=x^4+ax^3+bx^2+cx-x^3-ax^2-bx-c=\\=x^4+x^3(a-1)+x^2(b-a)+x(c-b)-c\\a-1=-6;\ a=-5\\b-a=28;\ b=23\\-c=51;\ c=-51\\x^3-5x^2+23x-51=0\\P(2)=2^3-5*2^2+23*2-51=-17\neq 0\\P(3)=27-45+69-51=0\Rightarrow x_3=3\\x^3-5x^2+23x-51=(x-3)(x^2+ax+b)=\\=x^3+ax^2+bx-3x^2-3ax-3b=x^3+x^2(a-3)+x(b-3a)-3b\\a-3=-5;\ a=-2\\-3b=-51;\ b=17$

$x^2-2x+17=0\\D=4-4*17=-64\\x_4=\frac{2+\sqrt{-64}}{2} =\frac{2+8i}{2} =1+4i\\x_5=\frac{2-\sqrt{-64}}{2} =1-4i$

Ответ: $x_1=0;\ x_2=1;\ x_3=3;\ x_4=1+4i;\ x_5=1-4i$

Answer 2

Чтобы найти действительные и комплексные корни многочлена, нужно решить уравнение x^5 - 6x^4 + 28x^3 - 74x^2 + 51x = 0.

К счастью, данное уравнение можно упростить, приведя его к каноническому виду и факторизовав. Для этого, прежде всего, вынесем общий множитель x:

x(x^4 - 6x^3 + 28x^2 - 74x + 51) = 0

Теперь заметим, что второй множитель можно представить в виде произведения двух квадратных выражений:

(x^4 - 6x^3 + 28x^2 - 74x + 51) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2) + (24x^2 - 74x + 51)

Мы разделили множитель на два куска: первый член (x^4 - 4x^3 + 4x^2) получен из первых трех членов и является квадратным трехчленом, а второй член (24x^2 - 74x + 51) получен из последних двух членов. Теперь можно далее упростить:

(x^4 - 6x^3 + 28x^2 - 74x + 51) = x^2(x^2 - 4x + 4) + 17(3x^2 - 2x + 3)

Теперь заметим, что первый член является квадратным трехчленом, который можно разложить:

x^2(x^2 - 4x + 4) = x^2(x - 2)^2

А второй член также является квадратным трехчленом, который можно разложить:

17(3x^2 - 2x + 3) = 17(3x - 1)^2

Теперь у нас получилось следующее уравнение:

x^5 - 6x^4 + 28x^3 - 74x^2 + 51x = x(x^2 - 2)^2 + 17(3x - 1)^2 = 0

Таким образом, уравнение сводится к сумме квадратов, что означает, что корни могут быть только действительными и равными нулю. Таким образом, единственным решением этого уравнения является:

x = 0

Это единственный действительный корень этого уравнения.