Question

1. Найти шестой член и разность арифметической прогрессии, если сумма её пятого и седьмого членов равна 54, а второй член равен 39.

Answer 1

Ответ:

а2=а1+d=39 , а1=39-d

a5=a1+4d , a7=a1+6d , a5+a7=2a1+10d=54

Подставим во второе уравнение а1:

2(39-d)+10d=54 , 78-2d+10d=54 , 8d=-24

d=-3

a1=39+3=42 , a6=a1+5d=42+5*(-3)=-27

Answer 2

Пусть шестой член арифметической прогрессии равен a₆, а разность прогрессии равна d.

Известно, что сумма пятого и седьмого членов равна 54. То есть:

a₅ + a₇ = 54

Также известно, что второй член равен 39. То есть:

a₂ = 39

Формулы для общего члена арифметической прогрессии и суммы членов:

aₙ = a₁ + (n - 1) * d

Sₙ = (n/2) * (2a₁ + (n - 1) * d)

где a₁ - первый член прогрессии, n - номер члена, Sₙ - сумма первых n членов.

Используя второй член прогрессии, мы можем найти первый член прогрессии:

a₂ = a₁ + (2 - 1) * d 39 = a₁ + d

Теперь у нас есть два уравнения:

a₅ + a₇ = 54 (1) a₁ + d = 39 (2)

Мы хотим найти a₆ и d.

Чтобы найти a₆, мы можем использовать формулу для общего члена прогрессии:

a₆ = a₁ + (6 - 1) * d a₆ = a₁ + 5d

Теперь мы можем заменить a₆ в уравнении (1):

(a₁ + 5d) + a₇ = 54

Заменяем a₇ с использованием формулы для общего члена прогрессии:

(a₁ + 5d) + (a₁ + 6d) = 54

2a₁ + 11d = 54

Теперь мы имеем систему уравнений:

2a₁ + 11d = 54 (3) a₁ + d = 39 (2)

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения.

Выразим a₁ из уравнения (2):

a₁ = 39 - d

Подставим это выражение в уравнение (3):

2(39 - d) + 11d = 54

78 - 2d + 11d = 54

9d = 54 - 78

9d = -24

d = -24 / 9

d = -8/3

Теперь найдем a₁, используя уравнение (2):

a₁ + (-8/3) = 39

a₁ = 39 + 8/3

a₁ = (117 + 8) / 3

a₁ = 125 / 3

a₁ = 41.67 (округляем до двух знаков после запятой)

Теперь найдем a₆, используя уравнение для общего члена прогрессии:

a₆ = a₁ + 5d

a₆ = 41.67 + 5 * (-8/3)

a₆ = 41.67 - 40/3

a₆ = (125 - 40) / 3

a₆ = 85/3

a₆ = 28.33 (округляем до двух знаков после запятой)

Итак, шестой член арифметической прогрессии равен 28.33, а разность прогрессии равна -8/3 или приближенно -2.67.