Question

Знайдыть множину всіх значень а при яких виконується рівність |a^3-a^2|=a^3-a^2

Answer 1

Модуль числа - это абсолютная величина, то есть величина, принимающая только неотрицательные значения.

Для того чтобы раскрыть модуль, пользуются таким правилом:

$|a| = \left \{ {\bigg{a, \ a \geq 0 \ \ } \atop \bigg{-a, \ a < 0}} \right.$

В равенстве $|a^{3} - a^{2}| = a^{3} - a^{2}$ получаем следующее:

$a^{3} - a^{2} \geq 0$

Решим данное неравенство методом интервалов:

$a^{2}(a - 1) \geq 0\\a = 0\\a = 1$

Получили интервал: $a \in [1; +\infty) \cup \{0\}$ (см. вложение).

Ответ: $a \in [1; +\infty) \cup \{0\}$

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю рівність крок за кроком:

1. Розглянемо два випадки: a^3-a^2 ≥ 0 і a^3-a^2 < 0.

2. Випадок a^3-a^2 ≥ 0: Тоді |a^3-a^2| = a^3-a^2.

   Підставимо це у рівність: a^3-a^2 = a^3-a^2.

   Зведемо подібні доданки та спростимо: -a^2 = 0.

   Прийдемо до висновку, що цей випадок може виконуватись лише при a = 0.

3. Випадок a^3-a^2 < 0: Тоді |a^3-a^2| = -(a^3-a^2) = a^2-a^3.

   Підставимо це у рівність: a^2-a^3 = a^3-a^2.

   Знову зведемо подібні доданки та спростимо: 2a^2 = 2a^3.

   Розділимо обидві частини на 2: a^2 = a^3.

   Очевидно, що ця рівність може виконуватись лише при a = 0 і a = 1, оскільки для інших значень a права частина рівності буде більшою за ліву.

Отже, множина всіх значень a, при яких виконується рівність |a^3-a^2| = a^3-a^2, це {0, 1}.