Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD углы при вершинах A и B прямые, величина угла при вершине D равна 45°, BC=1, длина диагонали BD равна 5. Найти площадь этого четырехугольника.

Answer 1

(фотка справа, там на всякий случай первая версия решения через теорему косинусов)

уголС=180-90-90-45=135 так как сумма всех углов четырехугольника равна 360

делаем так. проводим СХ параллельно АВ (и равно). у нас получилось две фигуры

прямоугольник АВСХ, площадь которого равна АВ*ВС=АВ*1=АВ (численно)

треугольник, между прочим прямоугольный и правильный, СХD площадью АВ*АВ/2=(АВ^2)/2

между прочим, итоговая площадь S=(АВ^2)/2+AB (численно)

пусть АВ=СХ=x для краткости

для треугольника ВАD теорема Пифагора:

x^2+(x+1)^2=5^2

x^2+x^2+2x+1=25

2x^2+2x-24=0

x^2+x-12=0

(x+4)(x-3)=0

x=-4 - не может быть отрицательное

x=3

S=(3^2)/2+3=9/2+3=7,5

ответ: 7,5

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади четырехугольника через диагонали:

S = (1/2) * d1 * d2 * sin(θ),

где S - площадь четырехугольника, d1 и d2 - длины диагоналей, θ - угол между диагоналями.

В данном случае у нас есть четырехугольник ABCD, в котором известны следующие данные:

• BC = 1 (длина стороны BC)
• BD = 5 (длина диагонали BD)
• Угол D равен 45° (θ = 45°)

Первым шагом найдем длину диагонали AC с помощью теоремы косинусов:

AC^2 = BC^2 + BD^2 - 2 * BC * BD * cos(θ)

AC^2 = 1^2 + 5^2 - 2 * 1 * 5 * cos(45°)

AC^2 = 1 + 25 - 10 * cos(45°)

AC^2 = 26 - 10 * (sqrt(2) / 2)

AC^2 = 26 - 5 * sqrt(2)

AC ≈ 1.142

Теперь у нас есть длины диагоналей BD = 5 и AC ≈ 1.142, и угол между ними θ = 45°. Подставим эти значения в формулу для площади:

S = (1/2) * BD * AC * sin(θ)

S = (1/2) * 5 * 1.142 * sin(45°)

S = 2.856 * (sqrt(2) / 2)

S ≈ 2.856 * 0.707 ≈ 2.021

Площадь четырехугольника ABCD составляет около 2.021 квадратных единиц.