Question

Найдите шестой и n-ый член геометрической последовательности (bn), если b1=125b4; b5=1/5

Answer 1

$b_{1} = 125b_{4}; \ b_{5} = \dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{125} = \dfrac{b_{4}}{b_{1}} = q^{3} \Rightarrow q^{3} = \dfrac{1}{125} \Rightarrow q = \dfrac{1}{5}$

$q = \dfrac{b_{5}}{b_{4}} \Rightarrow \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{5b_{4}} \Rightarrow b_{4} = 1$

$b_{6} = b_{5}q = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{25}$

$b_{1} = \dfrac{b_{4}}{q^{3}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{5^{3}} } = 5^{3} = 125$

$b_{n} = b_{1}q^{n-1} = 125 \cdot \left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1}$

Ответ: $b_{6} = \dfrac{1}{25} ; \ b_{n} = 125 \cdot \left(\dfrac{1}{5} \right)^{n-1}$

Answer 2

Для геометрической последовательности, общий член которой обозначается как bn, мы знаем, что каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число q, которое называется знаменателем прогрессии.

Обозначим первый член b1 = a, а знаменатель прогрессии q.

Тогда:

b2 = a * q b3 = a * q^2 b4 = a * q^3 b5 = a * q^4 b6 = a * q^5

Мы знаем, что b1 = 125 * b4, что в терминах наших обозначений будет:

a = 125 * a * q^3

Теперь у нас также есть информация, что b5 = 1/5:

a * q^4 = 1/5

Теперь, чтобы найти q, давайте разделим уравнение b1 на уравнение b5:

(a * q^3) / (a * q^4) = (125 * a * q^3) / (1/5)

q^(-1) = 625

Теперь мы нашли q, который равен 625. Давайте теперь найдем a, используя уравнение b5:

a * 625^4 = 1/5

a = (1/5) / 625^4

a = 1 / (5 * 625^4)

Теперь у нас есть значение a и q, и мы можем найти шестой член последовательности b6:

b6 = a * q^5

b6 = (1 / (5 * 625^4)) * 625^5

b6 = 625 / 5

b6 = 125

Таким образом, шестой член геометрической последовательности равен 125.

Теперь, если нам нужно найти n-ый член последовательности bn, мы можем использовать формулу:

bn = a * q^(n-1)

где n - номер члена последовательности, которого мы хотим найти.

Итак, для n-го члена:

bn = (1 / (5 * 625^4)) * 625^(n-1)

bn = 625^(n-5) / (5 * 625^4)

bn = 625^(n-9) / 5, так как 625^4 * 625^5 = 625^(4+5) = 625^9

Таким образом, общий формула для n-го члена геометрической последовательности bn: bn = 625^(n-9) / 5