Question

Известно, что tg 2х = 3/4, пи < x < 5пи/4. Вычислите: cos x, sin x, tg x, ctg x. Пожалуйста с формулами ))))

Answer 1

$tg2x=\frac{3}{4}\; \; ,\; \; \pi$

$cosx=\pm \sqrt{0,9}=\pm \sqrt{\frac{9}{10}}=\pm \frac{3}{\sqrt{10}}\\\\\pi$

$Otvet:\; \; sinx=-\frac{\sqrt{10}}{10}\; ,\; cosx=-\frac{3\sqrt{10}}{10}\; ,\; tgx=\frac{1}{3}\; ,\; ctgx=3\; .$

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся тригонометрическими тождествами, связывающими тангенс, синус и косинус:

1. Тождество tg(x) = sin(x) / cos(x)
2. Тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Мы знаем, что tg(2x) = 3/4, а также ограничения на x: π < x < 5π/4.

Давайте начнем:

1. Найдем sin(x) и cos(x) с помощью tg(2x) = 3/4: Так как tg(2x) = 3/4, мы можем записать: tg(2x) = 2 * tg(x) / (1 - tg^2(x))

Подставим tg(x) = sin(x) / cos(x): 2 * (sin(x) / cos(x)) / (1 - (sin(x) / cos(x))^2) = 3/4

Теперь обозначим sin(x) как s и cos(x) как c для упрощения уравнения: 2 * (s / c) / (1 - (s / c)^2) = 3/4

Далее, домножим уравнение на (1 - (s / c)^2) * 4c, чтобы избавиться от знаменателя: 2 * s * 4c = 3 * (1 - (s / c)^2) * 4c

8sc = 3(4c^2 - s^2)

Теперь применим тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1: 8sc = 3(4c^2 - (1 - c^2))

8sc = 3(3c^2 + 1)

Теперь, выразим sin(x) и cos(x) из уравнения: 8sc = 9c^2 + 3

8s = 9c + 3/c

Теперь решим квадратное уравнение относительно c: 9c^2 - 8sc + 3 = 0

Используем формулу дискриминанта, где D = b^2 - 4ac: D = (-8s)^2 - 4 * 9 * 3 = 64s^2 - 108

Теперь найдем значение с: c = (8s ± √(64s^2 - 108)) / (2 * 9) c = (4s ± √(16s^2 - 27)) / 9

Так как x лежит в четвертой четверти (π < x < 5π/4), то cos(x) является отрицательным. Поэтому выбираем отрицательное значение:

c = (4s - √(16s^2 - 27)) / 9

Теперь найдем sin(x) через cos(x): 8s = 9c + 3/c

8s = 9((4s - √(16s^2 - 27)) / 9) + 3/((4s - √(16s^2 - 27)) / 9)

8s = 4s - √(16s^2 - 27) + 3/(4s - √(16s^2 - 27))

Теперь разрешим уравнение относительно s: 4s = -√(16s^2 - 27) + 3/(4s - √(16s^2 - 27))

16s^2 = (4s - √(16s^2 - 27))^2 - 3

16s^2 = 16s^2 - 27 - 6s√(16s^2 - 27) + 9/(4s - √(16s^2 - 27))

6s√(16s^2 - 27) = 9/(4s - √(16s^2 - 27))

36s^2(16s^2 - 27) = 81/(4s - √(16s^2 - 27))^2

36s^2(16s^2 - 27) = 81(4s + √(16s^2 - 27))^2

576s^4 - 972s^2 - 81(4s + √(16s^2 - 27))^2 = 0

Теперь решим уравнение относительно s^2: 576s^4 - 972s^2 - 81(4s + √(16s^2 - 27))^2 = 0

После решения этого уравнения, найдем s^2 и затем s, а затем c, используя уравнение c = (4s - √(16s^2 - 27)) / 9.

2. Теперь, когда мы знаем значение sin(x) и cos(x), можем вычислить остальные тригонометрические функции:

tg(x) = sin(x) / cos(x)

ctg(x) = 1 / tg(x) = cos(x) / sin(x)

Важно отметить, что решение уравнения может быть достаточно сложным и многоэтапным, и манипуляции с радикалами могут занять много времени и усилий. Если точные значения не требуются, я могу предоставить вам численные ответы с использованием программного кода.