Question

Докажите, что при любом натуральном n выражение n⁴+3n³-n²-3n делится на 6Помогите пожалуйста! ​

Answer 1

n⁴+3n³-n²-3n = n⁴-n²+3n³-3n = n²(n² - 1) + 3n(n² - 1) = (n² - 1)(n² + 3n) = (n - 1)(n + 1)n(n + 3)

из трех подряд  чисел n-1, n, n + 1 одно обязательно делится на 2 и другое на 3, значит произведение делится на 2*3 = 6

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $n^4 + 3n^3 - n^2 - 3n$ делится на 6 для любого натурального $n$, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. При $n = 1$ значение выражения будет: $1^4 + 3 \cdot 1^3 - 1^2 - 3 \cdot 1 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0$

Так как $0$ делится на $6$ без остатка, базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции. Допустим, для некоторого $k$ выражение $k^4 + 3k^3 - k^2 - 3k$ делится на $6$ без остатка, то есть существует целое число $m$, такое что $k^4 + 3k^3 - k^2 - 3k = 6m$.

Шаг 3: Доказательство для $k+1$. Теперь нам нужно доказать, что если предположение индукции верно для $k$, то оно верно и для $k+1$.

Рассмотрим выражение для $k+1$: $(k+1)^4 + 3(k+1)^3 - (k+1)^2 - 3(k+1)$

Развернем его по формуле бинома Ньютона и упростим: $(k+1)^4 + 3(k+1)^3 - (k+1)^2 - 3(k+1) = (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) + 3(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k^2 + 2k + 1) - 3k - 3$

Теперь объединим слагаемые: $= k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 3k^3 + 9k^2 + 9k + 3 - k^2 - 2k - 1 - 3k - 3$

И далее упростим: $= k^4 + 3k^3 + 6k^2 + 8k$

Теперь воспользуемся предположением индукции, что $k^4 + 3k^3 - k^2 - 3k = 6m$ для некоторого целого числа $m$.

Подставим это в полученное выражение: $= 6m + 6k^2 + 8k$

Теперь вынесем общий множитель 6: $= 6(m + k^2 + 2k)$

Таким образом, мы видим, что $6$ является общим делителем для $(k+1)^4 + 3(k+1)^3 - (k+1)^2 - 3(k+1)$, и это заканчивает доказательство по индукции.

Таким образом, мы показали, что для любого натурального $n$, выражение $n^4 + 3n^3 - n^2 - 3n$ делится на 6 без остатка.