Question

Костя ищет пять различных простых чисел таких что сумма трёх из них - тоже простое число. Докажите, что такого набора не существует

Answer 1

Рассмотрим остатки при делении на три.Если мы нашли простые числа,которые дают одинаковые остатки на 3,то задача решена,поскольку,если у них остатки соответственно равны r,r,r,то тогда сумма остатков равно 3r,что кратно 3,то есть дают нулевой остаток при делении на три ,и сумма любых 3 простых чисел больше трех,так наименьшие простые числа это 2 3 5,сумма которых точно больше 3.

То есть кратны 3,и их сумма имеет вид 3k ,где k>1,k-целое.

Теперь предположим,что мы не нашли таких чисел. Тогда заметим,что найдется тогда три числа ,дающие разные остатки при делении на 3,так как если это не так,то каждого вида остатков не более двух(если их хотя бы 3,то это первый случай),а всего видов не более двух(при делении на три есть три различные остатки 0,1,2,одного у нас нет),то есть чисел не более чем 2*2=4,а у нас их 5.

Тогда мы нашли числа,дающие различные остатки при делении на 3.То есть это 0 1 и 2. Но сумма остатков 0+1+2=3,что кратно 3,то есть сумма исходных чисел кратны 3,и больше 3.

Противоречие. Значит,такого набора не существует.

Answer 2

Давайте предположим, что существует набор из пяти различных простых чисел, таких что сумма трёх из них является также простым числом. Пусть эти числа обозначаются как p1, p2, p3, p4 и p5.

Мы знаем, что простое число больше 2 всегда нечетное. Также заметим, что если у нас есть три простых числа, два из них обязаны быть нечетными, так как 2 - единственное четное простое число, и оно не может быть представлено в виде суммы двух простых чисел.

Рассмотрим все возможные комбинации суммы трех простых чисел:

1. (p1 + p2 + p3) - сумма трех нечетных простых чисел. Так как сумма нечетных чисел всегда нечетна, то данное выражение также будет нечетным числом.

2. (p1 + p2 + p4) - здесь у нас два нечетных числа (p1 и p2) и одно четное (p4). Чтобы сумма была простым числом, нечетные числа должны образовывать четное число, так как оно будет складываться с четным числом p4. Но сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом (например, 3 + 5 = 8), и, следовательно, данное выражение не может быть простым числом.

3. (p1 + p2 + p5) - аналогично предыдущему случаю, здесь также у нас два нечетных числа (p1 и p2) и одно четное (p5). Сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом, и данное выражение не может быть простым числом.

4. (p1 + p3 + p4) - здесь также у нас два нечетных числа (p1 и p3) и одно четное (p4). Сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом, и данное выражение не может быть простым числом.

5. (p1 + p3 + p5) - здесь также у нас два нечетных числа (p1 и p3) и одно четное (p5). Сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом, и данное выражение не может быть простым числом.

6. (p1 + p4 + p5) - здесь три нечетных числа, и, как мы уже установили, сумма трех нечетных чисел всегда будет нечетным числом.

7. (p2 + p3 + p4) - здесь также у нас два нечетных числа (p2 и p3) и одно четное (p4). Сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом, и данное выражение не может быть простым числом.

8. (p2 + p3 + p5) - здесь также у нас два нечетных числа (p2 и p3) и одно четное (p5). Сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом, и данное выражение не может быть простым числом.

9. (p2 + p4 + p5) - здесь также у нас два нечетных числа (p2 и p4) и одно четное (p5). Сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом, и данное выражение не может быть простым числом.

10. (p3 + p4 + p5) - аналогично предыдущим случаям, здесь также у нас два нечетных числа (p3 и p4) и одно четное (p5). Сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом, и данное выражение не может быть простым числом.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные комбинации суммы трех простых чисел и установили, что ни одно из них не может быть простым числом. Это означает, что набор из пяти различных простых чисел, где сумма трех из них также является простым числом, не существует.