Question

У равнобедренного треугольника АВС(АВ=ВС) проведены бисектрисы АМ и CN. Докажите что угол BMN в два раза больше чем угол AMN

Answer 1

Ответ:

===============================

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства бисектрисы.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник АВС с боковой стороной AV равной ВС (т.е., АВ = ВС). Проведем бисектрисы углов А и С, пересекающиеся в точке I, и проведем отрезок MN, где M - точка пересечения биссектрисы угла А с боковой стороной ВС, а N - точка пересечения биссектрисы угла С с боковой стороной АВ. Тогда треугольник МНС будет равнобедренным, так как МI и NI являются биссектрисами углов М и N, и МС = НС, так как это боковые стороны равнобедренного треугольника.

Теперь обратим внимание на треугольник АМН:

1. Так как М - точка пересечения биссектрисы угла А с стороной ВС, угол АММ (угол между биссектрисой и стороной) будет равен половине угла А (по свойству биссектрисы). Обозначим этот угол как α: ∠AMM = α.

2. Так как N - точка пересечения биссектрисы угла С с стороной АВ, угол СNN (угол между биссектрисой и стороной) будет равен половине угла С (по свойству биссектрисы). Обозначим этот угол как β: ∠CNN = β.

3. Угол АМН равен сумме углов α и β, так как это внутренний угол треугольника АМН.

Теперь докажем утверждение: "угол BMN в два раза больше, чем угол AMN":

Мы знаем, что треугольник МНС равнобедренный, поэтому МС = НС, и углы МСН и НСМ равны. Поскольку угол СNN также равен β, получаем, что угол НСМ тоже равен β.

Таким образом, угол BMN состоит из угла НСМ и угла МНС. Угол НСМ равен β, а угол МНС равен углу МСН, который в свою очередь равен углу NCA (так как треугольник МНС равнобедренный).

Таким образом, угол BMN = β + ∠NCA.

Теперь, у нас есть угол АМН, который равен α + β, и у нас есть угол BMN, который равен β + ∠NCA.

Поскольку треугольник АВС равнобедренный, угол NCA также равен α, так как это угол между равными сторонами.

Теперь сравним угол АМН и угол BMN:

Угол АМН = α + β Угол BMN = β + α

Мы видим, что угол BMN в два раза больше, чем угол АМН, так как он содержит угол NCA (равный α) и еще один угол β, который равен углу АММ.

Таким образом, угол BMN в два раза больше, чем угол AMN: ∠BMN = 2 * ∠AMN.