Question

На доске размером 9x9 клеток расставили 9 ладей, не бьющих друг друга. Затем каждую ладью передвинули ходом коня. Может ли оказаться, что в полученной расстановке, ладьи снова не бьют друг друга? Ответ объясните

Answer 1

Ответ: нет

Объяснение:

Для удобства  разметим поле 9x9  цифрами от  1 до 9 по  вертикали и горизонтали.  Поскольку ладьи не могут бить друг друга  , то на  одной горизонтали или  вертикали не может быть две ладьи . Но  поскольку ладей ровно 9 , как  и число всех горизонталей и вертикалей , то  каждой ладье  присвоен свой номер ai по горизонтали и bi по вертикали (номера по  горизонтали и вертикали двух разных ладей не могут повторятся)

(1<=ai<=9 ;  1<=bi<=9  ;  i =1,2,3,4,5,6,7,8,9 )

Пусть все ладьи сделали ход конем.  Тогда,  ai и bi могут изменятся на 1 или 2  единицы. Причем если ai меняется  на +-1 , то  bi обязательно изменится на +-2 и наоборот.  В  этом заключается ход конем.

Предположим , что  в результате ходов конем всех ладей они снова не бьют друг друга , но тогда  они  опять примут каждый свой номер по горизонтали и вертикали .  Пусть  эти номера равны

ai'  и bi' для  любого  i =1,2,3,4,5,6,7,8,9

Поскольку  у них опять у каждого свой номер , то  сумма всех номеров не  должна изменится и будет равна  удвоенной сумме всех цифр от 1 до 9.  То  есть :

a1+b1+a2+b2+a3+b3...+a9+b9 = a1'+b1'+a2'+b2'+a3'+b3'...+a9'+b9' =

=2*(1+2+3+4...+9)

Поскольку , как  было сказано раньше  ai и bi могут меняться   на  +-2 и +-1  (если один меняется на 2 , то другой обязательно на 1)

Таким образом для любого i верно ,  что :

(ai'+bi') -(ai+bi) =  +-2 +-1  

Но в  любых комбинациях +-  :

число  +-2 +-1  будет нечетным , поскольку 2 четно , а  1 нечетно.

Но тогда разность сумм :

(a1'+b1'+a2'+b2'+a3'+b3'...+a9'+b9') - (a1'+b1'+a2'+b2'+a3'+b3'...+a9'+b9')=

= (a1'+b1') -(a1+b1)  + (a2'+b2') -(a2+b2)+....+(a9'+92') -(a9+b9) = 0 ( тк они  равны)

Но  тк  (ai'+bi') -(ai+bi) =  +-2 +-1    - нечетное число ,  то выходит что сумма 9 нечетных чисел равна 0 .   Очевидно ,  что комбинация  +-  из  9  нечетных чисел всегда нечетна , поскольку число 9 нечетно. Но  число 0  является четным .  

Мы  пришли к противоречию.

Значит  так получится не может.

Answer 2

Да, может оказаться, что в полученной расстановке ладьи снова не бьют друг друга.

Для того чтобы объяснить это, давайте рассмотрим особенности хода коня и его влияние на расположение ладей. Ход коня представляет собой перемещение на две клетки в одном направлении (вертикальном или горизонтальном) и одну клетку в перпендикулярном направлении (вертикальном или горизонтальном). Это означает, что каждая ладья после такого хода коня переместится на клетку, которая находится от исходной позиции на расстоянии 3 клеток по горизонтали и 3 клеток по вертикали.

В начальной расстановке ладьи не бьют друг друга, поэтому на каждой горизонтали и вертикали находится только одна ладья. После перемещения каждой ладьи ходом коня, она оказывается на клетке, которая находится на расстоянии 3 клеток по горизонтали и 3 клеток по вертикали от исходной позиции. Таким образом, ни одна из ладей не может оказаться на одной и той же горизонтали или вертикали после такого перемещения.

Поскольку в начальной расстановке на каждой горизонтали и вертикали находится только одна ладья, и после хода коня они не могут оказаться на одной и той же горизонтали или вертикали, это означает, что в полученной расстановке ладьи снова не будут бить друг друга.