Question

Докажите тождества: 1) ((a⁷-8b⁴)(8b⁴+a⁷)+63b⁸)²-a¹⁴(+2b⁸+a¹⁴)=b¹⁶; 2) b²⁴-(82c¹⁰+(b⁶-9c⁵)(9c⁵+b⁶))²+c²⁰=-2c¹⁰b¹².

Answer 1

Объяснение:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Answer 2

Для доказательства данных тождеств, давайте посчитаем значения выражений с обеих сторон и убедимся, что они равны.

1. ((a⁷-8b⁴)(8b⁴+a⁷)+63b⁸)² - a¹⁴ + (2b⁸+a¹⁴) = b¹⁶

Сначала раскроем скобки:

((a⁷-8b⁴)(8b⁴+a⁷)+63b⁸)² = (a¹⁴ - 64b⁸ + a⁷8b⁴ - 8b⁴a⁷ + 63b⁸)² = (a¹⁴ - a¹⁴ + 63b⁸)² = (63b⁸)² = 3969b¹⁶

Теперь упростим выражение a¹⁴ + (2b⁸ + a¹⁴):

a¹⁴ + (2b⁸ + a¹⁴) = 2b⁸ + 2a¹⁴

Теперь подставим оба значения обратно в исходное уравнение:

3969b¹⁶ - (2b⁸ + 2a¹⁴) = b¹⁶

Прибавим 2b⁸ к обеим сторонам:

3969b¹⁶ = b¹⁶ + 2b⁸

Теперь выразим b¹⁶ из правой стороны:

3969b¹⁶ = b¹⁶(1 + 2b⁸)

Разделим обе стороны на (1 + 2b⁸):

b¹⁶ = 3969b¹⁶ / (1 + 2b⁸)

Теперь у нас есть выражение для b¹⁶. Однако, это равенство не верно для всех значений a и b, так как есть знаменатель (1 + 2b⁸). Значит, данное тождество неверно.

2. b²⁴ - (82c¹⁰ + (b⁶ - 9c⁵)(9c⁵ + b⁶))² + c²⁰ = -2c¹⁰b¹²

Сначала раскроем скобки:

(b⁶ - 9c⁵)(9c⁵ + b⁶) = b⁶ * 9c⁵ + b⁶ * b⁶ - 9c⁵ * 9c⁵ - 9c⁵ * b⁶ (b⁶ - 9c⁵)(9c⁵ + b⁶) = 9b⁶c⁵ + b¹² - 81c¹⁰ - 9b⁶c⁵ (b⁶ - 9c⁵)(9c⁵ + b⁶) = b¹² - 81c¹⁰

Теперь подставим это значение обратно в исходное уравнение:

b²⁴ - (82c¹⁰ + (b⁶ - 9c⁵)(9c⁵ + b⁶))² + c²⁰ = b²⁴ - (82c¹⁰ + (b¹² - 81c¹⁰))² + c²⁰

Теперь упростим:

b²⁴ - (82c¹⁰ + (b¹² - 81c¹⁰))² + c²⁰ = b²⁴ - (82c¹⁰ + b¹² - 81c¹⁰)² + c²⁰ b²⁴ - (82c¹⁰ + (b¹² - 81c¹⁰))² + c²⁰ = b²⁴ - (b¹² + c¹⁰)² + c²⁰ b²⁴ - (82c¹⁰ + (b¹² - 81c¹⁰))² + c²⁰ = b²⁴ - b²⁴ - 2b¹²c¹⁰ - c²⁰ + c²⁰

Теперь упростим дальше:

b²⁴ - (82c¹⁰ + (b¹² - 81c¹⁰))² + c²⁰ = - 2b¹²c¹⁰

Таким образом, у нас получилось:

b²⁴ - (82c¹⁰ + (b⁶ - 9c⁵)(9c⁵ + b⁶))² + c²⁰ = -2c¹⁰b¹²

Тождество верно.