Question

Квадратный трехчлен х2+рх+q имеет корни -2 и 7 найдите его наименьшее значение​

Answer 1

x1=-2

x2=7

q=x1×x2. q=-14

-p=x1+x2. p=-5

(x+2)(x-7)=0

x2-5x-14=0

График квадратного трехчлена, является парабола. Так как коэффициент перед x^2 положителен, то ветви направлены вверх. Следовательно, у данной параболы, вершина является минимумом. 

Найдем вершину:

x=-b/2a=-{-5}/{2} =2,5

y=2,5^2-5*2,5-14=6,25-12,5-14=-20,25

Следовательно, наименьшее значение квадратного трехчлена является -20,25, при x=2,5

найдем производную

x2-5x-14=0

f'x=2x-5

2x-5=0

x=2,5

Следовательно, критическая точка лишь одна. Узнаем, является ли она минимумом или максимумом.

Для этого, на координатной прямой, обозначим точку 2,5, и выделим 2 интервала с их знаками:

(-бесконечность; 2,5]

2х-5=>принимает отрицательное значение

[2,5; +бесконечность)

2х-5=>принимает положительное значение

Следовательно:

y(min)=y(2,5)=-20,25

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения квадратного трехчлена, нужно найти вершину его параболы. Вершина параболы находится в точке с абсциссой, равной -b/2a, где a, b и c - коэффициенты квадратного трехчлена в уравнении ax^2 + bx + c = 0.

В данном случае у нас есть корни -2 и 7, значит, уравнение имеет вид:

(x + 2)(x - 7) = 0

Раскрывая скобки, получаем:

x^2 - 5x - 14 = 0

Таким образом, a = 1, b = -5 и c = -14. Найдем абсциссу вершины параболы:

x = -(-5) / (2 * 1) = 5/2 = 2.5

Теперь найдем ординату (значение функции) в этой точке. Подставим x = 2.5 в исходный трехчлен:

f(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) - 14 = 6.25 - 12.5 - 14 = -20.25

Таким образом, наименьшее значение трехчлена равно -20.25.