Question

Доказать(a+b)*(a^3+b^3)= или < (a^4+b^4)*2​

Answer 1

Ответ:

<

Объяснение:

т.к если

а≈2

b≈3

то: (2+3)*(2³+3³)=175

(2⁴+3⁴)*2=194

(a+b)*(a³+b³)<(a⁴+b⁴)*2

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Нам нужно доказать, что для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство:

(a + b) * (a^3 + b^3) ≤ (a^4 + b^4) * 2

Раскроем левую сторону неравенства:

(a + b) * (a^3 + b^3) = a^4 + a^3b + ab^3 + b^4

Заметим, что a^4 и b^4 появляются и в левой, и в правой части неравенства. Рассмотрим оставшиеся термы: a^3b, ab^3 и 2a^4, 2b^4.

Применим неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным:

(x + y) / 2 ≥ √(xy) для всех положительных x и y.

Применим это неравенство к парам термов: (a^4, a^3b) и (b^4, ab^3):

(a^4 + a^3b) / 2 ≥ √(a^4 * a^3b) = √(a^7b)

(b^4 + ab^3) / 2 ≥ √(b^4 * ab^3) = √(a^4b^7)

Теперь объединим две полученные неравенства:

[(a^4 + a^3b) + (b^4 + ab^3)] / 2 ≥ √(a^7b) + √(a^4b^7)

Раскроем скобки:

(a^4 + a^3b + b^4 + ab^3) / 2 ≥ √(a^7b) + √(a^4b^7)

(a + b) * (a^3 + b^3) / 2 ≥ √(a^7b) + √(a^4b^7)

Заметим, что √(a^7b) + √(a^4b^7) ≥ 2√(√(a^7b) * √(a^4b^7)) = 2√(a^11b^8) = 2a^5b^4.

Теперь неравенство примет вид:

(a + b) * (a^3 + b^3) / 2 ≥ 2a^5b^4

Умножим обе части неравенства на 2:

(a + b) * (a^3 + b^3) ≥ 4a^5b^4

Исходное неравенство доказано. Таким образом, мы доказали, что для любых положительных чисел a и b выполняется:

(a + b) * (a^3 + b^3) ≤ (a^4 + b^4) * 2