Question

Помогите!!! Дано уравнение: cos(8x)- cos(6x)+cos(4x)-cos(2x)=0 Вопросы... 1) Как сгруппировать по парам данное уравнение? 2) какой множитель можно вынести за скобки после группировки? 3) Если произведение трёх множителей cos(2x)sin(5x)sin(x)=0, то как найти корни этого уравнения?

Answer 1

$(\cos8x+\cos4x)-(\cos6x+\cos2x)=0\\\\ 2\cos\frac{8x+4x}{2}\cos\frac{8x-4x}{2}-2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2}=0\\\\ 2\cos6x\cos2x-2\cos4x\cos2x=0\\\\2\cos2x(\cos6x-\cos4x)=0|:2\\\\ \cos2x(-2\sin\frac{6x+4x}{2}\sin\frac{6x-4x}{2})=0\\\\ -2\cos2x\sin5x\sin x=0|:(-2)\\\\\cos2x\sin5x\sin x=0$

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Наше уравнение разбивается на 3 случая: или $\cos2x=0$, или $\sin5x=0$, или $\sin x=0$:

$1) \cos2x=0\\2x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z;\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k, k\in Z.$

$2) \sin5x=0\\5x=\pi k, k \in Z\\x=\frac{\pi}{5}k,k\in Z$

$3)\sin x=0\\x=\pi k, k\in Z$

Заметим, что решения уравнений 2 и 3 можно объединить в единую серию  $x=\frac{\pi }{5}k, k\in Z$ (поскольку решение второго уравнения включает в себя все решения третьего уравнения).

Итоговый ответ - две серии точек: $x_1=\frac{\pi}{5}k, \in Z; x_2=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}k, k\in Z$

ОТВЕТ: $x_1=\frac{\pi}{5}k, \in Z; x_2=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}k, k\in Z$

Answer 2

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку:

1. Как сгруппировать по парам данное уравнение?

У нас дано уравнение: cos(8x) - cos(6x) + cos(4x) - cos(2x) = 0

Для сгруппировки по парам, давайте посмотрим на соседние слагаемые и постараемся объединить их. Мы заметим, что каждый член содержит косинус угла, который является кратным числу 2x (2x, 4x, 6x, 8x). Мы можем сгруппировать по парам следующим образом:

(cos(8x) - cos(6x)) + (cos(4x) - cos(2x)) = 0

2. Какой множитель можно вынести за скобки после группировки?

После группировки по парам, давайте посмотрим на каждую скобку. В каждой скобке у нас есть разность косинусов. Помните тригонометрическую формулу разности косинусов:

cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

Применим эту формулу к каждой из скобок:

-2 * sin((8x + 6x) / 2) * sin((8x - 6x) / 2) + -2 * sin((4x + 2x) / 2) * sin((4x - 2x) / 2) = 0

Теперь у нас есть выражения, в которых можно вынести -2 за скобки:

-2 * sin(7x) * sin(x) - 2 * sin(3x) * sin(2x) = 0

3. Если произведение трёх множителей cos(2x) * sin(5x) * sin(x) = 0, то как найти корни этого уравнения?

Для того чтобы найти корни уравнения cos(2x) * sin(5x) * sin(x) = 0, мы должны решить три уравнения, каждое из которых приравнивается к нулю, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. cos(2x) = 0
2. sin(5x) = 0
3. sin(x) = 0

Решим каждое уравнение отдельно:

1. cos(2x) = 0 Для нахождения корней этого уравнения, мы должны найти значения угла 2x, при которых косинус равен нулю. Косинус равен нулю при значениях угла, кратных π/2:

2x = π/2 + k * π, где k - целое число.

Таким образом, x = π/4 + k * π/2.

2. sin(5x) = 0 Аналогично, чтобы найти корни этого уравнения, мы должны найти значения угла 5x, при которых синус равен нулю:

5x = k * π, где k - целое число.

Таким образом, x = k * π/5.

3. sin(x) = 0 Для этого уравнения корни будут:

x = k * π, где k - целое число.

Теперь у нас есть три набора корней, которые удовлетворяют уравнению cos(2x) * sin(5x) * sin(x) = 0:

a) x = π/4 + k * π/2 б) x = k * π/5 в) x = k * π

Здесь k - любое целое число, так как оно дает различные значения для x, удовлетворяющие исходному уравнению.