Question

Решите неравенства -х^3+675х-(15+х)(225-15х+х^2)>0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

-x³+675x-(15+x)(225-15x+x²)>0

-x³+675x-(3375+x³)>0

-2x³+675x-3375>0

-2x³+450x+225x-3375>0

-2x³+30x²-30x²+450x+225(x-15)>0

-2x²(x-15)-30x(x-15)+225(x-15)>0

(x-15)(-2x²-30x+225)>0

Допустим:

x-15=0; x₁=15

Проверка при x₁<15:

-0³+675·0-(15+0)(225-15·0+0²)>0

-15·225>0; -3375<0 - неравенство не соблюдается.

Допустим:

-2x²-30x+225=0

2x²+30x-225=0; D=900+1800=2700

x₂=(-30-√2700)/4=(-30-30√3)/4=(-15√3 -15)/2

x₃=(-30+√2700)/4=(15√3 -15)/2

Проверка при x₂>(-15√3 -15)/2:

-0³+675·0-(15+0)(225-15·0+0²)>0; -3375<0 - неравенство не соблюдается.

Проверка при x₃>(15√3 -15)/2:

-10³+675·10-(15+10)(225-15·10+10²)>0

-1000+6750-25·(225-150+100)>0

5750-25·175>0; 5750-4375>0; 1375>0 - неравенство соблюдается.

Следовательно, (-∞<x<(-15√3 -15)/2)∨((15√3 -15)/2<x<15).

Ответ: x∈(-∞; (-15√3 -15)/2)∪((15√3 -15)/2; 15).

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны сначала упростить его и найти корни уравнения, а затем анализировать интервалы между корнями, чтобы определить значения x, при которых неравенство выполняется.

Начнем с упрощения выражения:

-х^3 + 675х - (15 + х)(225 - 15х + х^2) > 0

Раскроем скобки во втором слагаемом:

-х^3 + 675х - (3375 - 225х + 15х^2 - 15х - х^3) > 0

-х^3 + 675х - 3375 + 225х - 15х^2 + 15х + х^3 > 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

210х - 15х^2 - 3375 > 0

-15х^2 + 210х - 3375 > 0

Далее, мы можем решить это квадратное уравнение:

-15х^2 + 210х - 3375 = 0

Поделим все слагаемые на -15:

х^2 - 14х + 225 = 0

Теперь факторизуем квадратное уравнение:

(х - 9)(х - 25) = 0

Таким образом, мы получаем два корня: x = 9 и x = 25.

Теперь мы можем проанализировать интервалы между корнями и определить, при каких значениях x неравенство выполняется.

Интервалы: (-∞, 9), (9, 25), (25, +∞)

Выберем по одной точке из каждого интервала и проверим их значения в исходном неравенстве:

Подставим x = 0 (любое значение меньше 9) в исходное неравенство:

-0^3 + 675 * 0 - (15 + 0)(225 - 15 * 0 + 0^2) = -3375 < 0

Так как результат отрицательный, то неравенство не выполняется в интервале (-∞, 9).

Подставим x = 10 (любое значение между 9 и 25) в исходное неравенство:

-10^3 + 675 * 10 - (15 + 10)(225 - 15 * 10 + 10^2) = 400 > 0

Так как результат положительный, то неравенство выполняется в интервале (9, 25).

Подставим x = 30 (любое значение больше 25) в исходное неравенство:

-30^3 + 675 * 30 - (15 + 30)(225 - 15 * 30 + 30^2) = -150 < 0

Так как результат отрицательный, то неравенство не выполняется в интервале (25, +∞).

Итак, решением неравенства является интервал (9, 25).