Question

Помогите! Очень надо! 1. Найдите производную функции у=4х⁸-16х 2.Найдите значение производной функции х-18/х в точке х₀=3 3.Решите уравнение F`(x)=(x²-3)(x²+3) 4.Найдите значение производной функции у=6х⁵-еˣ в точке х₀=0 5.Найдите производную функции у=sin6x+cos2x

Answer 1

$1)\; \; y=4x^8-16x\; \; ,\; \; \; y'=32x^7-16\\\\2)\; \; y=x-\frac{18}{x}\; \; ,\; \; y'=1-\frac{-18\cdot x'}{x^2}=1+\frac{18}{x^2}\; \; ,\; \; y'(3)=1+\frac{18}{9}=3$

$4)\; \; y=6x^5-e^{x}\; \; ,\; \; \; y'=30x^4-e^{x}\; \; ,\; \; y'(0)=0-e^0=-1\\\\5)\; \; y=sin6x+cos2x\; \; ,\; \; \; y'=6\, cos6x-2\, sin2x$

$3)\; \; \int f(x)\, dx=F(x)+C\; \; \; \Rightarrow \; \; F'(x)=f(x)\\\\F'(x)=(x^2-3)(x^2+3)\; \; \Rightarrow \; \; f(x)=(x^2-3)(x^2+3)=x^4-9$

Answer 2

Конечно, помогу с решением задач. Давайте решим их по порядку:

1. Найдите производную функции у = 4x⁸ - 16x.

Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования степенной функции: d/dx(xⁿ) = n*x^(n-1)

Применяем это правило к данной функции: dy/dx = d/dx(4x⁸ - 16x) dy/dx = 4 * d/dx(x⁸) - d/dx(16x) dy/dx = 4 * 8x^(8-1) - 16 dy/dx = 32x⁷ - 16

2. Найдите значение производной функции (x - 18) / x в точке x₀ = 3.

Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования частного: d/dx(u/v) = (v * du/dx - u * dv/dx) / v²

Применяем это правило к данной функции: dy/dx = d/dx((x - 18) / x) dy/dx = ((x * d/dx(x - 18)) - ((x - 18) * d/dx(x))) / x² dy/dx = ((x * 1) - (x - 18) * 1) / x² dy/dx = (x - x + 18) / x² dy/dx = 18 / x²

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x₀ = 3, подставим x = 3 в выражение для производной: dy/dx = 18 / (3)² dy/dx = 18 / 9 dy/dx = 2

3. Решите уравнение F'(x) = (x² - 3)(x² + 3).

Уравнение F'(x) = (x² - 3)(x² + 3) является уравнением для нахождения критических точек функции F(x). Критические точки соответствуют значениям x, где производная функции равна нулю или не существует.

F'(x) = (x² - 3)(x² + 3) = 0

Таким образом, решим уравнение:

x² - 3 = 0 или x² + 3 = 0

Для первого уравнения: x² = 3 x = ±√3

Для второго уравнения: x² = -3 (нет решения в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным)

Таким образом, решения уравнения F'(x) = (x² - 3)(x² + 3) составляют x = √3 и x = -√3.

4. Найдите значение производной функции y = 6x⁵ - eˣ в точке x₀ = 0.

Для нахождения производной функции y = 6x⁵ - eˣ используем правило дифференцирования сложной функции (цепного правила) и степенную функцию.

dy/dx = d/dx(6x⁵) - d/dx(eˣ) dy/dx = 6 * d/dx(x⁵) - d/dx(eˣ) dy/dx = 6 * 5x^(5-1) - eˣ dy/dx = 30x⁴ - eˣ

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x₀ = 0, подставим x = 0 в выражение для производной: dy/dx = 30(0)⁴ - e⁰ dy/dx = 0 - 1 dy/dx = -1

5. Найдите производную функции y = sin(6x) + cos(2x).

Для нахождения производной функции y = sin(6x) + cos(2x) применим правило дифференцирования суммы функций:

dy/dx = d/dx(sin(6x)) + d/dx(cos(2x))

Для производной синуса и косинуса, используем цепное правило:

d/dx(sin(u)) = cos(u) * du/dx d/dx(cos(u)) = -sin(u) * du/dx

Применим это к нашей функции:

dy/dx = cos(6x) * d/dx(6x) - sin(2x) * d/dx(2x) dy/dx = cos(6x) * 6 - sin(2x) * 2

Таким образом, производная функции y = sin(6x) + cos(2x) равна dy/dx = 6 * cos(6x) - 2 * sin(2x).

Если у вас есть ещё вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!