Question

3) (x - 8)3 + 24x2 > x3 + 64x;4).помогите​

Answer 1

Ответ:

$3x - 24 + 24 {x}^{2} > {x}^{3} + 63x \\ - {x}^{3} + 24 {x}^{2} - 60x > 24 \\ {x}^{3} - 24x ^{2} + 60x < - 24$

Answer 2

Для решения этого неравенства, давайте выполним следующие шаги:

1. Приведем все члены к одной степени.
2. Разрешим неравенство и найдем интервалы, удовлетворяющие условию.

Итак, начнем с исходного неравенства:

1. (x - 8)^3 + 24x^2 > x^3 + 64x

Перенесем все члены в одну сторону:

2. (x - 8)^3 + 24x^2 - x^3 - 64x > 0

Разложим левую часть на множители:

3. [(x - 8)^3 - x^3] + 24x^2 - 64x > 0

Теперь воспользуемся разностью кубов:

4. [(x - 8 - x)(x^2 + (x)(x) + 8^2) + 24x^2 - 64x] > 0

5. [(-8)(x^2 + x^2 + 64) + 24x^2 - 64x] > 0

6. [-8(2x^2 + 64) + 24x^2 - 64x] > 0

7. [-16x^2 - 512 + 24x^2 - 64x] > 0

8. [8x^2 - 64x - 512] > 0

Теперь нам нужно найти корни уравнения 8x^2 - 64x - 512 = 0, чтобы определить интервалы, на которых неравенство может быть выполнено.

Решим уравнение:

8x^2 - 64x - 512 = 0

Вынесем общий множитель:

8(x^2 - 8x - 64) = 0

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 8x - 64 = 0 с помощью квадратного корня или факторизации:

(x - 16)(x + 4) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = 16 и x = -4.

Теперь определим знак многочлена 8x^2 - 64x - 512 на интервалах, разделенных этими корнями. Для этого можно использовать метод проверки знака:

• Возьмем произвольное значение x, например, x = 0, и подставим его в многочлен:

8(0)^2 - 64(0) - 512 = -512

• Так как коэффициент при самой высокой степени многочлена положителен (8 > 0), то знак многочлена будет таким же, как и знак значения, полученного при подстановке. Таким образом, многочлен отрицателен на интервале между корнями -4 и 16.

Теперь, чтобы определить интервалы, на которых исходное неравенство выполняется, мы должны выбрать тестовые точки в каждом из трех интервалов:

• Если x < -4, возьмем x = -5:

8(-5)^2 - 64(-5) - 512 = 280 > 0

Таким образом, неравенство выполняется при x < -4.

• Если -4 < x < 16, возьмем x = 0:

8(0)^2 - 64(0) - 512 = -512 < 0

Таким образом, неравенство не выполняется при -4 < x < 16.

• Если x > 16, возьмем x = 17:

8(17)^2 - 64(17) - 512 = 280 > 0

Таким образом, неравенство выполняется при x > 16.

Итак, решением данного неравенства является объединение двух интервалов:

x < -4 и x > 16.

В этих интервалах неравенство (x - 8)^3 + 24x^2 > x^3 + 64x выполняется.