Question

Решите уравнение:2cos2x - sin2x = 1​

Answer 1

Решение и график, надеюсь поймёшь.

Answer 2

Давайте решим уравнение:

2cos(2x) - sin(2x) = 1

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы переписать выражение в другом виде. Помните, что cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) и sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Подставим эти тождества в уравнение:

2(cos^2(x) - sin^2(x)) - 2sin(x)cos(x) = 1

Раскроем скобки:

2cos^2(x) - 2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Перепишем уравнение, используя тригонометрическое тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

2(1 - sin^2(x)) - 2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Упростим выражение:

2 - 2sin^2(x) - 2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1

2 - 4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Перенесем все члены в одну сторону:

-4sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + 2 = 0

Выносим общий множитель:

-2(2sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 1) = 0

Разделим на -2:

2sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь мы можем заметить, что это квадратное уравнение относительно sin(x). Пусть t = sin(x), тогда уравнение примет вид:

2t^2 + tcost - 1 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или факторизации. Но поскольку тут мы должны найти значение x, вернемся к исходному уравнению и продолжим с него.

2cos(2x) - sin(2x) = 1

Перепишем sin(2x) как 2sin(x)cos(x):

2cos(2x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Разделим оба члена на 2:

cos(2x) - sin(x)cos(x) = 1/2

Заметим, что это уравнение связывает cos(2x) и sin(x)cos(x) с конкретным значением. Мы можем использовать это, чтобы продолжить решение.

Сравним оба уравнения:

cos(2x) - sin(x)cos(x) = 1/2

2t^2 + tcost - 1 = 0

Мы видим, что sin(x)cos(x) соответствует t в квадратном уравнении. Теперь мы можем решить квадратное уравнение и найти значения t. Затем заменим t обратно на sin(x)cos(x) и решим исходное уравнение относительно x.

К сожалению, на этом этапе я не могу решить это уравнение аналитически. Оно требует использования численных методов для нахождения приближенных значений решений. Можно воспользоваться методом Ньютона или другими численными методами, чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению.