Question

Прямая у=6х-7 является касательной и кривой f(x)=x^2+bx+c в точке А(2;5). Найдите b и с.

Answer 1

Объяснение:

Задана функция f(x) = 3х^2-3x+c

В точке с координатой х = а касательная указываться уравнением y=3x+4. Угловой коэффициент данной прямой k = 3, то есть это значение производной функции в этой точке f'(a) = 3.

Найдём производную f'(x) = 6x - 3, тогда f'(а) = 6а - 3 = 3 и а = 1

найдём f(a) при а = 1 f(a)=3*1 - 3*1 +с = с

Уравнение касательной имеет вид: у = f(a) +f'(a)(x-a)

Подставим сюда y=3x+4, f(a) = с, f'(a) = 3 а= 1

3x+4 = с +3*(х-1)

3x+4 =с +3х-3

4 = с -3

с=7

Answer 2

Чтобы прямая $y = 6x - 7$ была касательной к кривой $f(x) = x^2 + bx + c$ в точке $A(2;5)$, нужно, чтобы они имели общую точку и общее значение производной в этой точке.

1. Общая точка: Подставим $x = 2$ в уравнение кривой и уравнение прямой, и приравняем их значения, так как точка $A(2;5)$ лежит на обеих кривых: $f(2) = 2^2 + 2b + c = 5$ $6 \cdot 2 - 7 = 12 - 7 = 5$ Получаем уравнение: $4 + 2b + c = 5$ $2b + c = 1 \quad \text{(Уравнение 1)}$

2. Общее значение производной: Производная функции $f(x)$ равна $f'(x) = 2x + b$. Чтобы прямая $y = 6x - 7$ была касательной к кривой $f(x)$ в точке $A(2;5)$, значения производных обеих функций в этой точке должны совпадать: $f'(2) = 2 \cdot 2 + b = 6$ $2 + b = 6$ $b = 6 - 2 = 4 \quad \text{(Уравнение 2)}$

Теперь, используя уравнение 2, найдем значение $c$ из уравнения 1: $2 \cdot 4 + c = 1$ $8 + c = 1$ $c = 1 - 8 = -7$

Таким образом, значения $b$ и $c$ равны соответственно $4$ и $-7$.