Question

Решить уравнения. Заменить одинаковое на t, как с биквадратными. 1) (х в квадрате— 8)в квадрате+4(х в квадрате - 8) – 5 = 0; 2) (x в квадрате + 6x)в квадрате + 8(x в квадрате - 6x) – 9 = 0;

Answer 1

$1) \ (x^{2} - 8)^{2} + 4(x^{2} - 8) - 5 = 0$

Сделаем соответствующую замену: $x^{2} - 8 = t$

Получаем уравнение, которое решим относительно $t$:

$t^{2} + 4t - 5 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета:

$\displaystyle \left \{ {{t_{1} + t_{2} = -4} \atop {t_{1} \cdot t_{2} = -5 \ }} \right.$

$t_{1} = -5; \ t_{2} = 1$

Сделаем обратную замену:

$\bullet \ x^{2} - 8 = -5; \ x^{2} = 3; \ x = \pm \sqrt{3}$

$\bullet \ x^{2} - 8 = 1; \ x^{2} = 9; \ x = \pm 3$

Ответ: $-3; \ -\sqrt{3}; \ \sqrt{3}; \ 3$

$2) \ (x^{2} + 6x)^{2} + 8(x^{2} + 6x) - 9 = 0$

Сделаем соответствующую замену: $x^{2} + 6x = t$

Получаем уравнение, которое решим относительно $t$:

$t^{2} + 8t - 9 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета:

$\displaystyle \left \{ {{t_{1} + t_{2} = -8} \atop {t_{1} \cdot t_{2} = -9 \ }} \right.$

$t_{1} = -9; \ t_{2} = 1$

Сделаем обратную замену:

$\bullet \ x^{2} + 6x = -9\\x^{2} + 6x + 9 = 0\\(x + 3)^{2} = 0\\x + 3 = 0\\x = -3$

$\bullet \ x^{2} + 6x = 1\\x^{2} + 6x - 1 = 0\\D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40\\x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10} = \left[\begin{array}{ccc}x_{1} = -3 - \sqrt{10}\\x_{2} = -3 + \sqrt{10}\\\end{array}\right$

Ответ: $-3 - \sqrt{10}; \ -3; \ -3 + \sqrt{10}$

Answer 2

Давайте решим уравнения по порядку:

1. Перепишем уравнение с заменой одинаковых выражений на "t": (t^2 - 8)^2 + 4(t^2 - 8) - 5 = 0

Проведем замену переменной: t^2 = u Теперь уравнение примет вид: u^2 + 4u - 5 = 0

Решим квадратное уравнение: u = (-4 ± √(4^2 - 4 * 1 * (-5))) / 2 u = (-4 ± √(16 + 20)) / 2 u = (-4 ± √36) / 2 u = (-4 ± 6) / 2

1. u1 = (6 - 4) / 2 = 2
2. u2 = (-6 - 4) / 2 = -5

Теперь вернемся к переменной t:

1. t^2 = 2 t = ±√2

2. t^2 = -5 Это уравнение не имеет решений в вещественных числах, так как квадрат никогда не может быть отрицательным.

Итак, решение первого уравнения: t = ±√2

2. Перепишем уравнение с заменой одинаковых выражений на "t": (x^2 + 6x)^2 + 8(x^2 - 6x) - 9 = 0

Проведем замену переменной: x^2 + 6x = u Теперь уравнение примет вид: u^2 + 8u - 9 = 0

Решим квадратное уравнение: u = (-8 ± √(8^2 - 4 * 1 * (-9))) / 2 u = (-8 ± √(64 + 36)) / 2 u = (-8 ± √100) / 2 u = (-8 ± 10) / 2

1. u1 = (10 - 8) / 2 = 1
2. u2 = (-10 - 8) / 2 = -9

Теперь вернемся к переменной x:

1. x^2 + 6x = 1 x^2 + 6x - 1 = 0

Решим квадратное уравнение: x = (-6 ± √(6^2 - 4 * 1 * (-1))) / 2 x = (-6 ± √(36 + 4)) / 2 x = (-6 ± √40) / 2 x = (-6 ± 2√10) / 2 x = -3 ± √10

2. x^2 + 6x = -9 x^2 + 6x + 9 = 0

Решим квадратное уравнение: x = (-6 ± √(6^2 - 4 * 1 * 9)) / 2 x = (-6 ± √(36 - 36)) / 2 x = (-6 ± √0) / 2 x = -3

Итак, решение второго уравнения: x = -3 ± √10

Обратите внимание, что второе уравнение имеет два корня, так как производимая замена переменной привела к биквадратному уравнению.