Question

при якому значенні х коефіціент 4 члена розкладу бінома (a+b)^(x^2-5x+17) у 15 разів більше за показник бінома

Answer 1

$(a+b)^{x^2-5x+17}=\displaystyle \sum^{n=x^2-5x+17}_{k=0}C^k_{x^2-5x+17}a^{x^2-5x+17-k}b^{k}$

Коефіцієнт четвертого члена розкладу бінома буде при $k=3$

$C^3_{x^2-5x+17}=\dfrac{(x^2-5x+17)!}{(x^2-5x+14)!3!}=\dfrac{(x^2-5x+15)(x^2-5x+16)(x^2-5x+17)}{6}$

За умовою він у 15 разів більше за показник бінома, тобто

$\dfrac{(x^2-5x+15)(x^2-5x+16)(x^2-5x+17)}{6}=15(x^2-5x+17)$

Нехай $x^2-5x+17=t$, отримаємо

$\dfrac{(t-2)(t-1)t}{6}=15t\\ \\ t\Big(t^2-3t+2-80\Big)=0\\ \\ t\Big(t^2-3t-78\Big)=0\\ \\ t_1=0;~~~ t^2-3t-78=0\\~~~~~~~~~~~~D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-78)=321;~~~\sqrt{D}=\sqrt{321}$

Значення дискрімінанта квадратного рівняння D = 321, але з під кореня $\sqrt{D}$ винести ніяк, тому корені $t_1,t_2$ будуть не цілими, а $x$ - ціле.

$x^2-5x+17=0\\ D=25-4\cdot 17$ - квадратне рівняння дійсних коренів не має.

Відповідь: немає такого значення х.

Answer 2

Для того, щоб знайти значення x, при якому коефіцієнт 4-го члена розкладу бінома (a+b)^(x^2-5x+17) у 15 разів більше за показник бінома, спочатку ми мусимо зрозуміти, як знаходяться коефіцієнти біноміального розкладу.

Біноміальний розклад має вигляд: (a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n,

де C(n, k) - це біноміальний коефіцієнт, що обчислюється як C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), де n! - факторіал числа n.

Показник бінома для 4-го члена розкладу (a + b)^(x^2-5x+17) дорівнює (x^2-5x+17), тому нам потрібно знайти 4-й коефіцієнт, тобто коефіцієнт при a^(x^2-5x+17-4) * b^4, або просто a^(x^2-5x+13) * b^4.

Таким чином, ми маємо наступне рівняння: C(x^2-5x+17, 4) * a^(x^2-5x+13) * b^4 = 15.

Тепер, давайте обчислимо значення x.

Крок 1: Обчислити біноміальний коефіцієнт C(x^2-5x+17, 4): C(x^2-5x+17, 4) = (x^2-5x+17)! / (4! * (x^2-5x+13)!).

Крок 2: Розв'язати рівняння: C(x^2-5x+17, 4) * a^(x^2-5x+13) * b^4 = 15.

Крок 3: Знайти значення x.

Зважаючи на складність обчислення біноміального коефіцієнта та розв'язання рівняння, точне значення x може бути важким визначити аналітично. Але ви можете використовувати чисельні методи для приблизного знаходження значення x.

Якщо у вас є конкретні значення для a та b, або якщо вам потрібен аналітичний розв'язок, будь ласка, надайте додаткові деталі, і я спробую надати більш конкретну допомогу.