Question

Найти (а+в)(а+2в),если |а|=|в|=1;угол между а и в=60​

Answer 1

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \vec{a}+\vec{a}\cdot (2\cdot\vec{ b})+\vec{b}\cdot (2\cdot\vec{ b})=\\\\\\=|\vec{a}|\cdot |\vec{a}|\cdot cos0^{o}+|\vec{b}|\cdot |\vec{a}|\cdot cos60^{o}+|\vec{a}|\cdot |2\vec{b}|\cdot cos60^{o}+|\vec{b}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos0^{o}=\\\\=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot \frac{1}{2} +1\cdot 2\cdot \frac{1}{2} +1\cdot 1\cdot 1=1+\frac{1}{2}+1+1=3,5$

Answer 2

Для нахождения произведения выражения (а+в)(а+2в) при условии |а|=|в|=1 и угле между а и в равном 60°, мы можем использовать тригонометрические свойства.

Для начала, давайте найдем значение угла между а и в в радианах:

Угол между a и b в радианах = (60° * π) / 180° = π/3 радиан.

Теперь, чтобы найти произведение (а+в)(а+2в), мы можем воспользоваться тригонометрическими формулами синуса и косинуса для сложения углов:

1. Синус суммы углов: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β).
2. Косинус суммы углов: cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β).

Пусть α - угол между а и осью x (горизонтальной осью), а β - угол между в и осью x.

Так как |а|=|в|=1, то координаты точек a и b на единичной окружности в декартовой системе координат будут:

a(x_a, y_a) = (cos(α), sin(α)) = (cos(π/3), sin(π/3)) = (1/2, √3/2), b(x_b, y_b) = (cos(β), sin(β)) = (cos(π/3), sin(-π/3)) = (1/2, -√3/2).

Теперь, найдем a + b:

a + b = (x_a + x_b, y_a + y_b) = (1/2 + 1/2, √3/2 - √3/2) = (1, 0).

Теперь найдем 2b:

2b = 2(x_b, y_b) = 2(1/2, -√3/2) = (1, -√3).

Итак, (а+в)(а+2в) = a(a+2b) = a(a) + a(2b) = a^2 + 2ab.

Теперь найдем a^2:

a^2 = (x_a^2, y_a^2) = (1/4, 3/4).

Теперь найдем ab:

ab = (x_a * x_b - y_a * y_b, x_a * y_b + x_b * y_a) = (1/4 - (-√3/2 * √3/2), 1/2 * √3 + √3 * 1/2) = (1/4 + 3/4, √3/2 + √3/2) = (1, √3).

Теперь сложим a^2 и 2ab:

a^2 + 2ab = (1/4, 3/4) + (2 * 1, 2 * √3) = (1/4 + 2, 3/4 + 2√3) = (9/4, 3/4 + 2√3).

Итак, (а+в)(а+2в) = a^2 + 2ab = (9/4, 3/4 + 2√3).

Поэтому (а+в)(а+2в) = (9/4, 3/4 + 2√3).