Question

При каких положительных значениях а имеет решение уравнение (a+3)sinx=a−1 a∈(1;+∞) a∈(−∞;−3)∪[−1;+∞) a∈[0;+∞) a∈(0;+∞)

Answer 1

Уравнение sinx=b имеет решения при |b|≤1

Данное уравнение запишем в виде:

sinx=(a-1)/(a+3)

При |(a-1)/(a+3)|≤1  уравнение имеет решения.

Решаем неравенство с модулем.

Его можно записать как двойное:

-1 ≤(а-1)/(а+3)≤1

или как систему двух неравенств

{(а-1)/(а+3)≤1

{(а-1)/(а+3)≥-1

{-4/(a+3)≤0

{(2a+2)/(a+3)≥0

{a+3>0⇒a>-3

{2a+2≥0⇒a≥-1

Решением системы является [-1;+∞)

Так как спрашивают про положительные a, это a∈(0;+∞)

{a>-3

{a>-1

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение (a+3)sinx = a−1 и посмотрим, при каких положительных значениях a оно имеет решение.

1. Изначальное уравнение: (a+3)sinx = a−1

2. Давайте решим уравнение для x, выразив его:

   a + 3 ≠ 0 (поскольку a > 0, и a + 3 также всегда положительно, кроме случая a = -3, что не учитывается в данном диапазоне) sinx = (a - 1) / (a + 3)

3. Для того чтобы синус имел значение в диапазоне [-1, 1], необходимо и достаточно, чтобы (a - 1) / (a + 3) лежало в этом диапазоне.

4. Рассмотрим два случая:

   a) a > 1: В этом случае a - 1 > 0, и a + 3 > a > 1, следовательно, (a - 1) / (a + 3) будет лежать в диапазоне (0, 1), что позволяет уравнению иметь решение.

   b) a = 1: В этом случае a - 1 = 0, и уравнение сводится к виду 3sinx = 0. Уравнение имеет решение x = 0.

Таким образом, уравнение (a+3)sinx = a−1 имеет решение при положительных значениях a из диапазона (1; +∞). Верное выражение: a ∈ (1; +∞).