Question

Найдите количество целых корней уравнения x^3 - 3x^2 +2 =0

Answer 1

$x^{3} - 3x^{2} + 2 = 0$

Решим заданное уравнение, разложив выражение, находящееся в левой части уравнения, на множители, при помощи метода группирования (группировки).

$x^{3} - x^{2} - 2x^{2} + 2 = 0\\x^{2}(x - 1) - 2(x^{2} - 1) = 0\\x^{2}(x - 1) - 2(x - 1)(x + 1) = 0$

Выносим общий множитель $(x-1)$ и получаем:

$(x - 1)(x^{2} - 2(x + 1)) = 0\\(x - 1)(x^{2} - 2x - 2) = 0$

Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$\left[\begin{array}{ccc}x - 1 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \\x^{2} - 2x - 2 = 0\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \end{array}\right$

$\sqrt{D} = \sqrt{12} \notin \mathbb{Z}$, следовательно, всего есть один целый корень данного уравнения.

Ответ: 1 целый корень.

Answer 2

Чтобы найти количество целых корней уравнения x^3 - 3x^2 + 2 = 0, мы можем использовать теорему о рациональных корнях (или теорему о целых корнях) для многочленов с целыми коэффициентами.

Теорема гласит: Если многочлен имеет рациональный (или целый) корень p/q (где p и q взаимно просты, а q ≠ 0), то p должно делиться на коэффициент при старшей степени многочлена, а q должно делиться на коэффициент при свободном члене.

В данном уравнении у нас многочлен с целыми коэффициентами. Коэффициент при старшей степени (x^3) равен 1, а коэффициент при свободном члене (без x) равен 2.

Теперь давайте посмотрим на все возможные целочисленные делители 2: ±1 и ±2.

Теперь посмотрим на все возможные целочисленные делители 1: ±1.

Итак, все возможные рациональные корни этого многочлена - это ±1 и ±2.

Теперь давайте проверим каждый из них. Подставим их в уравнение:

1^3 - 3 * 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0, (-1)^3 - 3 * (-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2, 2^3 - 3 * 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2, (-2)^3 - 3 * (-2)^2 + 2 = -8 - 12 + 2 = -18.

Мы нашли два корня, равных 1 и -1. Остальные два корня (-2 и 2) не являются целыми числами.

Итак, у уравнения x^3 - 3x^2 + 2 = 0 есть два целых корня: x = 1 и x = -1.