Question

Решите уравнение sin3x=sin5x и найдите все его корни принадлежащие промежутку [0; π]

Answer 1

Ответ:

$a) \ \pi n; \ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} , \ n \in Z. \\ \\ b) \ 0; \ \frac{\pi}{8}; \ \frac{3\pi}{8}; \ \frac{5\pi}{8}; \ \frac{7\pi}{8}; \ \pi.$

Объяснение:

перенесем все в одну часть и воспользуемся формулой преобразования разности в произведение:

$sin3x-sin5x=0 \\ \\ 2sin\frac{3x-5x}{2}*cos\frac{3x+5x}{2}=0 \\ \\ 2sin(-x)*cos4x=0 \\ \\ -2sinx*cos4x=0$

произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

$\left[ \begin{gathered} sinx=0\\ cos4x=0\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\pi n\\ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \ n \in Z \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x=\pi n\\ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} , \ n \in Z \end{gathered} \right.$

так как промежуток дан несложный, то можно корни найти подбором, присваивая n целые значения

$1) \ x=\pi n \\ a) \ n=0 \Rightarrow x=0; \\ b) \ n=1 \Rightarrow x=\pi \\ \\ 2) \ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{4} \\a) \ n=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{8} \\ b) \ n=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{8} +\frac{\pi}{4} =\frac{3\pi}{8} \\ c) \ n=2 \Rightarrow x=\frac{\pi}{8} +\frac{2\pi}{4} =\frac{5\pi}{8} \\ d) \ n=3 \Rightarrow x=\frac{\pi}{8} +\frac{3\pi}{4} =\frac{7\pi}{8}$

Answer 2

Для решения уравнения sin(3x) = sin(5x) в промежутке [0; π], мы можем использовать тригонометрические тождества. Одно из таких тождеств гласит:

sin(a) = sin(b) ⇒ a = nπ + (-1)^n * b, где n - целое число.

Следовательно, уравнение можно записать в следующем виде:

3x = nπ + (-1)^n * 5x.

Теперь разберемся с различными значениями n:

1. Когда n четное (n = 2k, где k - целое число): 3x = 2kπ + 5x 3x - 5x = 2kπ -2x = 2kπ x = -kπ.

2. Когда n нечетное (n = 2k + 1, где k - целое число): 3x = (2k + 1)π - 5x 3x + 5x = (2k + 1)π 8x = (2k + 1)π x = (2k + 1)π / 8.

Теперь, чтобы найти корни, которые принадлежат промежутку [0; π], подставим значения x в это выражение и отберем те, которые подходят:

1. Для четных n: x = -kπ. При k = 0: x = 0 (подходит). При k = 1: x = -π (не подходит, так как отрицательное). При k = 2: x = -2π (не подходит, так как отрицательное).

2. Для нечетных n: x = (2k + 1)π / 8. При k = 0: x = π / 8 (подходит). При k = 1: x = 3π / 8 (подходит).

Итак, корни уравнения sin(3x) = sin(5x) в промежутке [0; π] это: x = 0, x = π / 8 и x = 3π / 8.