Question

Знайдіть похідну функції f(x)=√x(3x-x²). Обчистліть f`(9)

Answer 1

f'(x)=(√x(3x-x²))'=1/(2√x)*(3x-x²)+(3-2x)*√x

по формуле (u*v)'=u'v+v'u

Answer 2

Давайте знайдемо похідну функції f(x) спочатку, а потім обчислимо її значення в точці x = 9.

Для знаходження похідної f'(x) застосовуємо правило добутку та правило ланцюжка (chain rule):

Правило добутку: (d/dx)(uv) = u(d/dx)v + v*(d/dx)u

Правило ланцюжка: (d/dx)(u(v(x))) = (du/dv)*(dv/dx)

У нашому випадку: u = √x v = 3x - x²

Тоді: (d/dx)(√x(3x - x²)) = (√x) * (d/dx)(3x - x²) + (3x - x²) * (d/dx)(√x)

Тепер знайдемо похідні кожної частини виразу:

(d/dx)(3x - x²) = 3 - 2x

Тепер, щоб знайти похідну (d/dx)(√x), скористаємося правилом для похідної квадратного кореня:

(d/dx)(√x) = 1 / (2√x)

Підставимо отримані значення у початковий вираз:

(d/dx)(√x(3x - x²)) = (√x) * (3 - 2x) + (3x - x²) * (1 / (2√x))

Тепер обчислимо значення похідної f'(x) в точці x = 9:

f'(x) = (√x) * (3 - 2x) + (3x - x²) * (1 / (2√x))

f'(9) = (√9) * (3 - 29) + (39 - 9²) * (1 / (2√9))

f'(9) = (3) * (-15) + (27 - 81) * (1 / (2*3))

f'(9) = -45 + (-54) * (1 / 6)

f'(9) = -45 - 9

f'(9) = -54

Отже, f'(9) = -54.