Question

Определенный интеграл, пределы интегрирования от 1 по е (ln^2x)/x dx (дробь логарифм в квадрате от икс деленный на икс все это по dx)

Answer 1

$\int\limits^e_1 \dfrac{\ln^2x}{x} dx=\left=\int\limits^e_1 \ln^2x\,d(\ln x)=\left\dfrac{\ln^3x}{3} \right|^e_1=\\=\dfrac{\ln^3e}{3}-\dfrac{\ln^31}{3}=\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}=\boxed{\dfrac{1}{3}}$

Answer 2

$\int\limits^{e}_1\, \frac{ln^2x}{x}\, dx=[\; t=lnx\; ,\; dt=\frac{dx}{x}\; ]=\int \limits _{0}^{1}t^2\, dt=\frac{t^3}{3}\Big|_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$

Answer 3

Для вычисления данного определенного интеграла, сначала найдем его неопределенный интеграл и затем применим пределы интегрирования.

1. Найдем неопределенный интеграл (первообразную) от функции (ln^2x)/x:

∫(ln^2x)/x dx

Для интегрирования данной функции используем метод интегрирования по частям. Пусть u = ln^2x и dv = dx, тогда du = (2lnx)/x dx и v = x.

Тогда формула интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du

Применяем:

∫(ln^2x)/x dx = ln^2x * x - ∫x * (2lnx)/x dx = x * ln^2x - 2∫lnx dx

Для вычисления последнего интеграла снова используем интегрирование по частям, где теперь u = ln x и dv = dx:

du = (1/x) dx, v = x

∫lnx dx = x * ln x - ∫x * (1/x) dx = x * ln x - ∫dx = x * ln x - x + C

Теперь подставляем найденное значение обратно в первообразную:

∫(ln^2x)/x dx = x * ln^2x - 2(x * ln x - x) + C = x * ln^2x - 2x * ln x + 2x + C

2. Теперь вычисляем определенный интеграл:

∫[1, e] (ln^2x)/x dx

Заменяем верхний предел интегрирования e и нижний предел интегрирования 1:

= e * ln^2e - 2e * ln e + 2e - (1 * ln^2 1 - 2 * 1 * ln 1 + 2 * 1) = e * 0 - 2e * 1 + 2e - (0 - 0 + 2) = -2e + 2e - 2 = -2

Таким образом, определенный интеграл от (ln^2x)/x по интервалу [1, e] равен -2.