Question

Решить уравнение: |x^2-1|+|x^2-9|=x+18

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

Для решения данного уравнения, нужно рассмотреть несколько случаев, так как абсолютные значения могут привести к разным возможным значениям x.

1. Если (x^2 - 1) и (x^2 - 9) оба неотрицательны (т.е. x^2 ≥ 1 и x^2 ≥ 9):

|x^2 - 1| = x^2 - 1 |x^2 - 9| = x^2 - 9

Тогда уравнение примет вид:

(x^2 - 1) + (x^2 - 9) = x + 18 2x^2 - 10 = x + 18

Переносим все в левую часть:

2x^2 - x - 28 = 0

2. Если (x^2 - 1) неотрицательно, а (x^2 - 9) отрицательно (т.е. x^2 ≥ 1 и x^2 < 9):

|x^2 - 1| = x^2 - 1 |x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = 9 - x^2

Тогда уравнение примет вид:

(x^2 - 1) + (9 - x^2) = x + 18 8 = x + 18

3. Если (x^2 - 1) отрицательно, а (x^2 - 9) неотрицательно (т.е. x^2 < 1 и x^2 ≥ 9):

|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2 |x^2 - 9| = x^2 - 9

Тогда уравнение примет вид:

(1 - x^2) + (x^2 - 9) = x + 18 -8 = x + 18

4. Если (x^2 - 1) и (x^2 - 9) оба отрицательны (т.е. x^2 < 1 и x^2 < 9):

|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2 |x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = 9 - x^2

Тогда уравнение примет вид:

(1 - x^2) + (9 - x^2) = x + 18 10 - 2x^2 = x + 18

Теперь решим каждый из полученных квадратных уравнений:

1. 2x^2 - x - 28 = 0: Для решения этого уравнения, можно использовать квадратное уравнение или графический метод. Воспользуемся формулой для квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 2, b = -1, c = -28

x = (1 ± √((-1)^2 - 4 * 2 * (-28))) / 2 * 2 x = (1 ± √(1 + 224)) / 4 x = (1 ± √225) / 4 x = (1 ± 15) / 4

Таким образом, получаем два возможных значения x:

x₁ = (1 + 15) / 4 = 4 x₂ = (1 - 15) / 4 = -3.5

2. 8 = x + 18: x = 8 - 18 x = -10

3. -8 = x + 18: x = -8 - 18 x = -26

4. 10 - 2x^2 = x + 18: 2x^2 + x - 8 = 0: Для этого уравнения также воспользуемся формулой квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 2, b = 1, c = -8

x = (-1 ± √(1^2 - 4 * 2 * (-8))) / 2 * 2 x = (-1 ± √(1 + 64)) / 4 x = (-1 ± √65) / 4

Таким образом, получаем два возможных значения x:

x₃ = (-1 + √65) / 4 ≈ 1.79 x₄ = (-1 - √65) / 4 ≈ -1.29

Итак, уравнение имеет четыре корня:

x₁ ≈ 4 x₂ ≈ -3.5 x₃ ≈ 1.79 x₄ ≈ -1.29