Question

Спростіть вираз: а) (1 – cos2 α)(1 + ctg2 α); б) cos 3x + cos x.

Answer 1

$1)\; \; (1-cos^2a)(1+ctg^2a)=sin^2a\cdot \frac{1}{sin^2a}=1\\\\\\2)\; \; cos3x+cosx=2\cdot cos\frac{3x+x}{2}\cdot cos\frac{3x-x}{2}=2\cdot cos2x\cdot cosx$

Answer 2

а) Спростимо вираз (1 – cos^2 α)(1 + ctg^2 α):

Запишемо спрощення: (1 – cos^2 α)(1 + ctg^2 α) = sin^2 α ⋅ cosec^2 α

Тут ми використовуємо співвідношення: sin^2 α = 1 – cos^2 α ctg α = 1 / tan α = cos α / sin α cosec α = 1 / sin α

Підставляємо ці співвідношення у вираз: (1 – cos^2 α)(1 + ctg^2 α) = sin^2 α ⋅ (1 / sin^2 α) ⋅ cos^2 α = cos^2 α

Таким чином, спрощений вираз: cos^2 α

б) Спростимо вираз cos 3x + cos x:

Застосуємо формулу суми косинусів: cos 3x + cos x = 2 cos(2x + x) ⋅ cos(2x - x)

Застосуємо формулу подвоєння косинуса: 2 cos(2x + x) ⋅ cos(2x - x) = 2 cos 2x ⋅ cos x

Таким чином, спрощений вираз: 2 cos 2x ⋅ cos x