Question

Как производные решать например: sin(2x)^4 или cos(x)^2 ?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(sin⁴(2x))'= 4sin³(2x)*2cos(2x)= 8sin³(2x)*cos(2x)

(cos²(x))'= 2cos(x)*(-sin(x))= -2sin(x)*cos(x)= -sin(2x)

сначала мы находим производную степени, потом умножаем на производную внутренней функции

Answer 2

Для нахождения производных данных функций, мы можем использовать правила дифференцирования для элементарных функций. Вот как решить производные:

1. Производная функции sin(2x)^4:

Для нахождения производной этой функции, вам понадобятся два важных правила: правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования степенной функции.

Правило дифференцирования сложной функции: Если у нас есть функция u(x) и функция v(u), то производная сложной функции v(u(x)) по x равна произведению производной v(u) по u и производной u(x) по x, то есть (d/dx) v(u(x)) = v'(u) * u'(x).

Теперь рассмотрим sin(2x)^4: Пусть u = sin(2x), тогда функция станет u^4. Теперь найдем производные: u'(x) = d/dx(sin(2x)) и v'(u) = d/du(u^4).

Производная sin(2x) равна cos(2x) (производная синуса). Производная u^4 равна 4u^3.

Теперь используем правило дифференцирования сложной функции: (d/dx) sin(2x)^4 = v'(u) * u'(x) = 4u^3 * cos(2x) = 4(sin(2x))^3 * cos(2x).

2. Производная функции cos(x)^2:

Здесь у нас также есть степенная функция, но без сложной функции, поэтому используем просто правило дифференцирования степенной функции.

Правило дифференцирования степенной функции: Если у нас есть функция f(x) = g(x)^n, где g(x) - функция, а n - константа, то производная f'(x) равна n * g(x)^(n-1) * g'(x), где g'(x) - производная g(x).

Теперь рассмотрим cos(x)^2: Здесь g(x) = cos(x) и n = 2. Производная g'(x) = d/dx(cos(x)) равна -sin(x) (производная косинуса).

Производная cos(x)^2: f'(x) = 2 * cos(x)^(2-1) * (-sin(x)) = 2 * cos(x) * (-sin(x)) = -2sin(x)cos(x).

Таким образом, производная cos(x)^2 равна -2sin(x)cos(x).