Question

В поле комплексных чисел решить уравнение: |z|+|z+i|=1.

Answer 1

$|z|+|z+i|=1$

Представим число $z$ виде $x+yi$:

$|x+yi|+|x+yi+i|=1$

$|x+yi|+|x+(y+1)i|=1$

$\sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x^2+(y+1)^2}=1$

$\sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x^2+y^2+2y+1}=1$

Замена: $x^2+y^2=a\geq 0$

$\sqrt{a} +\sqrt{a+2y+1}=1$

Возведем левую и правую части в квадрат:

$(\sqrt{a} +\sqrt{a+2y+1})^2=1^2$

$a +a+2y+1+2\sqrt{a} \cdot\sqrt{a+2y+1}=1$

$2a+2y+2\sqrt{a^2+2ay+a}=0$

$a+y+\sqrt{a^2+2ay+a}=0$

$\sqrt{a^2+2ay+a}=-(a+y)$

Еще раз возведем в квадрат, учитывая, что $a+y\leq 0$:

$(\sqrt{a^2+2ay+a})^2=(-(a+y))^2$

$a^2+2ay+a=a^2+2ay+y^2$

$a=y^2$

Обратная замена:

$x^2+y^2=y^2$

$x^2=0$

$\Rightarrow x=0$

Подставим значение х:

$\sqrt{0^2+y^2} +\sqrt{0^2+(y+1)^2}=1$

$\sqrt{y^2} +\sqrt{(y+1)^2}=1$

$|y| +|y+1|=1$

Моули раскроем при трех случаях.

Если $x$:

$-y -y-1=1$

$-2y =2$

$y=-1$ - решение не из рассматриваемого диапазона

Если $-1\leq y\leq 0$:

$-y +y+1=1$

$1=1$

Верное равенство, значит любой у из отрезка $-1\leq y\leq 0$ - решение

Если $y>0$:

$y +y+1=1$

$2y=0$

$y=0$ - решение не из рассматриваемого диапазона

Таким образом, решениями являются все числа вида $z=x+yi$, где $x=0,\ y\in[-1;\ 0]$, или, записывая проще, $z=yi$, где $y\in[-1;\ 0]$

Ответ: $z=yi$, где $y\in[-1;\ 0]$

Answer 2

Дано уравнение |z| + |z + i| = 1, где z является комплексным числом.

Для решения данного уравнения можно разбить его на несколько случаев, в зависимости от знаков и модулей.

1. Пусть z = a + bi, где a и b - вещественные числа. Раскроем модули в уравнении: |a + bi| + |a + bi + i| = 1 √(a^2 + b^2) + √(a^2 + (b+1)^2) = 1

2. Если a ≥ 0 и b ≥ -1, то модули можно упростить: √(a^2 + b^2) + √(a^2 + (b+1)^2) = 1

3. Возведем каждую сторону уравнения в квадрат: (a^2 + b^2) + 2√((a^2 + b^2)(a^2 + (b+1)^2)) + (a^2 + (b+1)^2) = 1

4. Упростим это уравнение: 2√((a^2 + b^2)(a^2 + (b+1)^2)) = -2(a^2 + b^2 + (b+1)^2)

5. Так как аргумент корня должен быть неотрицательным числом, то в правой части уравнения мы имеем отрицательное число, что невозможно. Таким образом, нет решений для данного уравнения в случае, когда a ≥ 0 и b ≥ -1.

6. Рассмотрим случай, когда a < 0 и b < -1. Модули можно упростить следующим образом: √(a^2 + b^2) + √(a^2 + (b+1)^2) = 1

7. Возведем каждую сторону уравнения в квадрат: (a^2 + b^2) + 2√((a^2 + b^2)(a^2 + (b+1)^2)) + (a^2 + (b+1)^2) = 1

8. Упростим это уравнение: 2√((a^2 + b^2)(a^2 + (b+1)^2)) = -2(a^2 + b^2 + (b+1)^2)

9. Аналогично предыдущему случаю, правая часть равенства является отрицательным числом, аргумент корня должен быть неотрицательным числом, поэтому нет решений для данного случая.

10. Итак, уравнение |z| + |z + i| = 1 не имеет решений в поле комплексных чисел.