Question

Довести тотожнiсть: cos65°cos25°=1/2cos40° Помогите пожалуйста​

Answer 1

1/2(cos(40*)+cos(90*))=1/2cos40*
1/2(cos(40*)+0)=1/2cos(40*)
1/2(cos40*)=1/2cos(40*)

Answer 2

Для доказательства тождества cos 65° cos 25° = 1/2 cos 40°, воспользуемся тригонометрическими формулами и углами суммы/разности:

1. Угловая формула для косинуса: cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
2. Угловая формула для синуса: sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
3. Угловая формула для удвоенного угла: cos 2A = 1 - 2sin^2 A

Теперь, начнем доказательство:

Левая сторона: cos 65° cos 25°

Используем угловую формулу для косинуса: cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B

cos(65° - 25°) = cos 65° cos 25° + sin 65° sin 25°

Мы знаем значения синусов и косинусов для этих углов:

cos 65° = cos (90° - 25°) = sin 25° sin 65° = sin (90° - 25°) = cos 25°

Таким образом, уравнение становится:

sin 25° cos 25° + cos 65° sin 25°

Теперь вынесем общий множитель за скобку:

sin 25° (cos 25° + cos 65°)

Правая сторона: 1/2 cos 40°

Угловая формула для удвоенного угла: cos 2A = 1 - 2sin^2 A

cos 40° = cos (2 * 20°) = 1 - 2sin^2 20°

Мы также знаем, что sin 2A = 2sin A cos A, поэтому:

2sin 20° cos 20° = sin 40°

Таким образом, правая сторона равна: 1/2 * sin 40°

Теперь сравниваем левую и правую стороны:

sin 25° (cos 25° + cos 65°) = 1/2 * sin 40°

Мы знаем, что sin 2A = 2sin A cos A, поэтому cos 65° = sin 25°, и можем заменить в уравнении:

sin 25° (cos 25° + sin 25°) = 1/2 * sin 40°

Факторизуем общий множитель:

sin 25° * (1 + cos 25°) = 1/2 * sin 40°

Теперь используем угловую формулу cos^2 A + sin^2 A = 1:

1 + cos 25° = 1 + cos^2 25° + sin^2 25° = 1 + 1 = 2

Подставляем обратно:

sin 25° * 2 = 1/2 * sin 40°

Имеем:

2 sin 25° = 1/2 sin 40°

Теперь делим обе стороны на 2:

sin 25° = 1/4 sin 40°

Теперь используем тригонометрическую тождество: sin A = 2sin (A/2) cos (A/2)

sin 25° = 2sin (25°/2) cos (25°/2)

Выразим sin (25°/2) и cos (25°/2):

sin (25°/2) = √[(1 - cos 25°) / 2] cos (25°/2) = √[(1 + cos 25°) / 2]

Теперь подставим обратно:

sin 25° = 2 * √[(1 - cos 25°) / 2] * √[(1 + cos 25°) / 2]

sin 25° = 2 * √[(1 - cos^2 25°) / 4]

Мы знаем, что cos^2 A + sin^2 A = 1, поэтому 1 - cos^2 25° = sin^2 25°:

sin 25° = 2 * √[(sin^2 25°) / 4]

sin 25° = 2 * (sin 25° / 2)

Теперь сократим sin 25° с обеих сторон:

1 = 1

Тождество верно, и мы успешно доказали, что cos 65° cos 25° = 1/2 cos 40°.