Question

Знайти суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії якщо сума п'ятого і десятого члена прогресії дорівнює 74, а сума четвертого і сьомого прогресії дорівнює 58 ​

Answer 1

$\left\{\begin{array}{ccc}a_5+a_{10}=74\\a_4+a_7=58\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{ccc}(a_1+4d)+(a_1+9d)=74\\(a_1+3d)+(a_1+6d)=58\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}2a_1+13d=74\\2a_1+9d=58\end{array}\right\; \ominus \; \left\{\begin{array}{l}4d=16\\2a_1=58-9d\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{l}d=4\\2a_1=22\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{l}d=4\\a_1=11\end{array}\right\\\\\\S_{21}=\dfrac{2a_1+20d}{2}\cdot 21=\dfrac{2\cdot 11+20\cdot 4}{2}\cdot 21=51\cdot 21=1071$

Answer 2

Для знаходження суми перших двадцяти членів арифметичної прогресії, спочатку ми повинні знайти різницю (d) прогресії та перший член (a₁).

Арифметична прогресія має загальний вигляд:

a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d, ..., a₁ + (n-1)d.

Де a₁ - перший член, d - різниця, n - кількість членів прогресії.

Ми знаємо, що сума п'ятого і десятого членів дорівнює 74:

a₁ + 4d + a₁ + 9d = 74, 2a₁ + 13d = 74.

Також, сума четвертого і сьомого членів дорівнює 58:

a₁ + 3d + a₁ + 6d = 58, 2a₁ + 9d = 58.

Маємо систему рівнянь:

1. 2a₁ + 13d = 74,
2. 2a₁ + 9d = 58.

Віднімемо рівняння 2) від рівняння 1):

(2a₁ + 13d) - (2a₁ + 9d) = 74 - 58, 4d = 16, d = 4.

Тепер підставимо значення d в одне з рівнянь, наприклад, у рівняння 2):

2a₁ + 9d = 58, 2a₁ + 9 * 4 = 58, 2a₁ + 36 = 58, 2a₁ = 58 - 36, 2a₁ = 22, a₁ = 11.

Тепер ми знаємо, що перший член (a₁) дорівнює 11, а різниця (d) дорівнює 4. Ми хочемо знайти суму перших 20 членів прогресії, тобто n = 20.

Загальна формула для суми перших n членів арифметичної прогресії є:

Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ),

де Sₙ - сума перших n членів прогресії, aₙ - n-ий член прогресії.

Підставимо відповідні значення:

S₂₀ = (20/2) * (a₁ + a₁ + (n-1)d), S₂₀ = 10 * (11 + 11 + (20-1) * 4), S₂₀ = 10 * (11 + 11 + 19 * 4), S₂₀ = 10 * (11 + 11 + 76), S₂₀ = 10 * 98, S₂₀ = 980.

Отже, сума перших двадцяти членів арифметичної прогресії дорівнює 980.