Question

Доказать, что для рациональности sinx и cosx необходимо и достаточно, чтобы был рационален ( k∈Z)

Answer 1

Так как sinx и cosx выводятся через tgx/2

$sinx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}\\cosx=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$

То видно,что если tgx/2 рационален ,то  sinx и cosx рациональны

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, нам нужно разобраться в том, что означает рациональность функций sin(x) и cos(x), а также как она связана с рациональностью числа k.

Пусть x - некоторое число в радианах.

1. Необходимость: Если sin(x) или cos(x) рациональны, то это означает, что значения sin(x) или cos(x) могут быть выражены как отношение двух целых чисел (a/b, где a и b - целые числа и b ≠ 0).

Предположим, что sin(x) рационален. Тогда sin(x) = a/b для некоторых целых a и b (b ≠ 0). Но мы знаем, что значения sin(x) лежат в диапазоне [-1, 1]. Таким образом, a/b тоже должно лежать в этом диапазоне.

Поскольку a и b являются целыми числами, и a/b лежит в интервале [-1, 1], то единственный способ обеспечить это - это когда a = 0 (и тогда a/b = 0) или a = ±1 и b = ±1.

Если a = 0, то sin(x) = 0, что верно только для x = 0, π, 2π, и так далее. Эти значения рациональны.

Если a = ±1 и b = ±1, то sin(x) = ±1, что верно только для x = π/2 + 2πk и x = 3π/2 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, если sin(x) рационален, то x должен быть представим в виде x = πk + π/2 или x = πk + 3π/2, где k - целое число.

Точно так же, можно показать, что если cos(x) рационален, то x должен быть представим в виде x = πk или x = πk + π, где k - целое число.

2. Достаточность: Пусть x = πk + π/2 или x = πk + 3π/2, где k - целое число. Тогда sin(x) = (-1)^k. Здесь k может быть как четным, так и нечетным.

Если k - четное число, то sin(x) = 0, что является рациональным числом.

Если k - нечетное число, то sin(x) = -1 или 1, что также является рациональным числом.

Теперь пусть x = πk или x = πk + π, где k - целое число. Тогда cos(x) = (-1)^k.

Если k - четное число, то cos(x) = 1, что является рациональным числом.

Если k - нечетное число, то cos(x) = -1, что также является рациональным числом.

Таким образом, если x представим в виде x = πk + π/2, x = πk + 3π/2, x = πk или x = πk + π, где k - целое число, то sin(x) и cos(x) рациональны.

Вывод: Таким образом, мы доказали, что если sin(x) или cos(x) рациональны, то x должен быть представим в виде x = πk + π/2, x = πk + 3π/2, x = πk или x = πk + π, где k - целое число. Обратно, если x представим в указанных формах, то sin(x) и cos(x) будут рациональными.

Это доказывает необходимость и достаточность условия для рациональности sin(x) и cos(x).