Question

З точки А до площини α проведено перпендикулярні похилі АВ і АС. Знайдіть квадрат відстані між точками В і С, якщо відстань від точки А до площини α дорівнює 3 см, а похилі АВ і АС утворюють з площиною α кути по 60°.

Answer 1

АВ⊥АС   ⇒  ∠ВАС=90° , АО⊥ плоск. α ,  АО=3 см ,  ∠АВО=∠АСО=60°

 Найти:  ВС² .

АО⊥ плоск.α   ⇒  АО⊥ВО  и  АО⊥СО

ΔАВО=ΔАСО  (по катету и острому углу)  ⇒  

АВ=АС=АО:sin∠ABO=3/sin60°=3/(√3/2)=2√3

∠ВАС=90°   ⇒   BC²=AB²+AC²=2*(2√3)²=2*4*3=24 (см²)

Answer 2

Позначимо відстань між точками В і С як d. Оскільки похилі АВ і АС є перпендикулярними до площини α, то вони утворюють прямокутний трикутник ABC, де АВ і АС є катетами, а ВС - гіпотенузою.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ABC маємо:

d^2 = AB^2 + AC^2

Також задано, що відстань від точки А до площини α дорівнює 3 см, тобто AB = AC = 3 см.

Підставимо ці значення в рівняння:

d^2 = (3 см)^2 + (3 см)^2 d^2 = 9 см^2 + 9 см^2 d^2 = 18 см^2

Отже, квадрат відстані між точками В і С дорівнює 18 квадратним сантиметрам.