Question

Пожалуйста, помогите решить уравнения: 1. Cos2x= корень из 3 2. sin(x/6+ п/3) = 1/2 3. tgx/2(2+sinx)=0

Answer 1

1.сos2x= √3 нет корней. Косинус не может быть =√3, больше 1.

2. sin(x/6+ п/3) = 1/2

(x/6+ п/3) = (-1)ⁿarcsin(1/2 )+πn n∈Z

(x/6+ п/3) = (-1)ⁿarcsin(1/2 )+πn    n∈Z

x/6=- п/3+ (-1)ⁿarcsin(1/2 )+πn      n∈Z

x=- 2п+ 6*(-1)ⁿarcsin(1/2 )+ 6πn n∈Z

3. (tgx/2)(2+sinx)=0

2+sinx≠0, т.к. иначе sinx=-2, чего быть не может.

tgx/2=0  X/2=πn   π∈Z

x=2πn        π∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди:

1. Уравнение: cos(2x) = √3

Начнем с того, что знаем о косинусе. Значение косинуса ограничено от -1 до 1. Мы ищем такие значения угла 2x, при которых cos(2x) равен √3, что больше единицы, что невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений.

2. Уравнение: sin(x/6 + π/3) = 1/2

Для решения этого уравнения, начнем с того, что sin(π/6) = 1/2. Мы можем переписать уравнение следующим образом:

sin(x/6 + π/3) = sin(π/6)

Используем тригонометрическую тождества для синуса суммы двух углов:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Подставим в наше уравнение:

sin(x/6)cos(π/3) + cos(x/6)sin(π/3) = sin(π/6)

(1/2)cos(x/6) + (√3/2)sin(x/6) = 1/2

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только sin(x/6). Для удобства обозначим sin(x/6) как t:

(1/2)cos(x/6) + (√3/2)t = 1/2

Перенесем все слагаемые с t в одну сторону уравнения:

(√3/2)t = 1/2 - (1/2)cos(x/6)

Теперь выразим t:

t = (1/√3) - (1/2√3)cos(x/6)

Мы знаем, что sin(π/6) = 1/2, поэтому:

t = sin(π/6) - (1/2)cos(x/6)

t = sin(π/6) - cos(π/3)sin(x/6)

Теперь мы знаем значение t, и можем найти x/6:

x/6 = arcsin(sin(π/6) - cos(π/3)sin(x/6))

x/6 = arcsin(1/2 - (√3/2)sin(x/6))

x = 6 * arcsin(1/2 - (√3/2)sin(x/6))

Здесь мы получили уравнение, связывающее x с sin(x/6). Но это уравнение все равно достаточно сложное для аналитического решения, поэтому его можно численно решить с помощью численных методов, таких как метод половинного деления или метод Ньютона.

3. Уравнение: tg(x/2)(2 + sin(x)) = 0

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть два случая:

а) tg(x/2) = 0

Это уравнение имеет решение x/2 = 0, откуда x = 0.

б) 2 + sin(x) = 0

sin(x) = -2

Это уравнение не имеет решений, так как синус ограничен от -1 до 1, и никогда не достигает значения -2.

Таким образом, уравнение tg(x/2)(2 + sin(x)) = 0 имеет одно решение: x = 0.