Question

Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 30. Вычисли, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим ​

Answer 1

Ответ:

при d=-9

Объяснение:

3a₂+a₄=30

3(a₁+d)+a₁+3d=30

3a₁+3d+a₁+3d=30

4a₁+6d=30

4a₁=30-6d

a₁=7,5-1,5d

Найдем произведение третьего и пятого членов прогрессии:

a₃*a₅ = (a₁+2d)(a₁+4d)

a₃=7,5-1,5d+2d=7,5+0,5d

a₅=7,5-1,5d+4d=7,5+2,5d

a₃*a₅=(7,5+0,5d)(7,5+2,5d)= 56,25+3,75d+18,75d+1,25d²=

      = 1,25d²+22,5d+56,25

Рассмотрим функцию f(d)=1,25d²+22,5d+56,25

Найдём производную полученной функции и критические точки:

f `(d)=(1,25d²+22,5d+56,25)` = 1,25*2d+22,5+0= 2,5d+22,5

f `(d)=0 при 2,5d+22,5=0

                   2,5d= -22,5

                   d= -9 - критическая точка

          -                      +

__________ -9 _________

При переходе через критическую точку d=-9 функция меняет знак с "-" на "+", поэтому при d=-9 значение функции будет минимальным

Значит, при d=-9 произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a", а разность прогрессии (шаг) - "d".

Тогда второй член прогрессии будет равен "a + d", третий - "a + 2d", четвёртый - "a + 3d", пятый - "a + 4d".

Условие гласит, что сумма утроенного второго и четвёртого членов равна 30:

3 * (a + d) + (a + 3d) = 30.

Упростим уравнение:

3a + 3d + a + 3d = 30,

4a + 6d = 30,

2a + 3d = 15.

Теперь выразим "a" через "d" из уравнения разности прогрессии:

2a = 15 - 3d,

a = (15 - 3d) / 2.

Теперь рассмотрим произведение третьего и пятого членов прогрессии:

(a + 2d) * (a + 4d) = (15 - 3d) / 2 + 2d) * (15 - 3d) / 2 + 4d).

Чтобы найти минимальное значение этого выражения, продифференцируем его по "d" и приравняем к нулю:

d/dx ((15 - 3d) / 2 + 2d) * ((15 - 3d) / 2 + 4d)) = 0.

Решим это уравнение:

d/dx ((15 - 3d) / 2 + 2d) * ((15 - 3d) / 2 + 4d)) = 0,

(3 - 3d) / 2 + 2 + (15 - 3d) / 2 + 4d = 0,

(18 - 6d) / 2 + 4d = 0,

18 - 6d + 8d = 0,

2d = 18,

d = 9.

Теперь найдем "a":

a = (15 - 3d) / 2 = (15 - 3 * 9) / 2 = (15 - 27) / 2 = -12 / 2 = -6.

Таким образом, разность прогрессии "d" равна 9, а первый член "a" равен -6.

Подставим эти значения для третьего и пятого членов прогрессии:

Третий член: a + 2d = -6 + 2 * 9 = 12.

Пятый член: a + 4d = -6 + 4 * 9 = 30.

Теперь вычислим их произведение:

12 * 30 = 360.

Таким образом, при разности прогрессии, равной 9, произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим и равным 360.