Question

Решите уравнения: 1) 2sin(п/18x+п/9)+1=0 ; 2) 14-3sin3x=√6

Answer 1

1.

$2\sin\left(\dfrac{\pi x}{18}+\dfrac{\pi}{9}\right)+1=0$

$2\sin\left(\dfrac{\pi x}{18}+\dfrac{\pi}{9}\right)=-1$

$\sin\left(\dfrac{\pi x}{18}+\dfrac{\pi}{9}\right)=-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\pi x}{18}+\dfrac{\pi}{9}=(-1)^{k+1}\cdot\dfrac{\pi}{6} +\pi k$

$\dfrac{x}{18}+\dfrac{1}{9}=(-1)^{k+1}\cdot\dfrac{1}{6} +k$

$\dfrac{x}{18}=-\dfrac{1}{9}+(-1)^{k+1}\cdot\dfrac{1}{6} +k$

$x=-2+3\cdot(-1)^{k+1} +18k,\ k\in\mathbb{Z}$

2.

$14-3\sin3x=\sqrt{6}$

$3\sin3x=14-\sqrt{6}$

$\sin3x=\dfrac{14-\sqrt{6}}{3}$

Оценим значение правой части следующим образом:

$\dfrac{14-\sqrt{6}}{3}>\dfrac{14-\sqrt{9}}{3}=\dfrac{14-3}{3}=\dfrac{11}{3}>1$

Итак, правая часть больше 1, а синус принимает значения на отрезке от -1 до 1. Значит, уравнение не имеет корней.

$x\in\varnothing$

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди:

1. Уравнение: $2\sin\left(\frac{\pi}{18}x + \frac{\pi}{9}\right) + 1 = 0$

Вычитаем 1 из обеих сторон:

$2\sin\left(\frac{\pi}{18}x + \frac{\pi}{9}\right) = -1$

Делим обе стороны на 2:

$\sin\left(\frac{\pi}{18}x + \frac{\pi}{9}\right) = -\frac{1}{2}$

Это соответствует углу $-\frac{\pi}{6}$ или $-\frac{5\pi}{6}$ в стандартной системе координат (где синус равен $-\frac{1}{2}$).

Теперь мы можем записать уравнение для каждого из этих углов:

1. $\frac{\pi}{18}x + \frac{\pi}{9} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.
2. $\frac{\pi}{18}x + \frac{\pi}{9} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Теперь решим каждое из уравнений для $x$:

1. $\frac{\pi}{18}x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{9} + 2\pi n$ $\frac{\pi}{18}x = -\frac{5\pi}{18} + 2\pi n$ $x = -5 + 36n$

2. $\frac{\pi}{18}x = -\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{9} + 2\pi n$ $\frac{\pi}{18}x = -\frac{13\pi}{18} + 2\pi n$ $x = -13 + 36n$

Таким образом, общее решение первого уравнения: $x = -5 + 36n$ и $x = -13 + 36n$, где $n$ - целое число.

2. Уравнение: $14 - 3\sin(3x) = \sqrt{6}$

Вычитаем $\sqrt{6}$ из обеих сторон:

$14 - 3\sin(3x) - \sqrt{6} = 0$

Теперь давайте попробуем решить это численно, используя численные методы, так как данное уравнение не может быть решено аналитически. Вы можете использовать методы численного решения, такие как метод половинного деления, метод Ньютона и другие, чтобы приближенно найти значения $x$, удовлетворяющие уравнению.