Question

2. В многочлене 9x²y⁴+6xy³+25y² выделите полный квадрат суммы, содержащий: а) первый и второй одночлены; б) первый и третий одночлены; в) второй и третий одночлены.

Answer 1

а)

$9x^2y^4+6xy^3+25y^2=(9x^2y^4+6xy^3)+25y^2=$

$=\left((3xy^2)^2+2\cdot3xy^2\cdot y+y^2-y^2\right)+25y^2=$

$=(3xy^2+y)^2-y^2+25y^2=\boxed{(3xy^2+y)^2+24y^2}$

б)

$9x^2y^4+6xy^3+25y^2=(9x^2y^4+25y^2)+6xy^3=$

$=\left((3xy^2)^2+(5y)^2+2\cdot3xy^2\cdot5y-2\cdot3xy^2\cdot5y\right)+6xy^3=$

$=(3xy^2+5y)^2-30xy^3+6xy^3=\boxed{(3xy^2+5y)^2-24xy^3}$

в)

$9x^2y^4+6xy^3+25y^2=(25y^2+6xy^3)+9x^2y^4=$

$=\left((5y)^2+2\cdot5y\cdot\dfrac{6}{10} xy^2+\left(\dfrac{6}{10} xy^2\right)^2-\left(\dfrac{6}{10} xy^2\right)^2\right)+9x^2y^4=$

$=\left(5y+\dfrac{6}{10} xy^2\right)^2-\dfrac{36}{100} x^2y^4+9x^2y^4=\boxed{\left(5y+0.6 xy^2\right)^2+8.64x^2y^4}$

Answer 2

Для выделения полного квадрата суммы в многочлене, мы можем воспользоваться следующим правилом:

Для многочлена вида $ax^2 + bx + c$, его полный квадрат суммы будет $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2$, если $b = 2\sqrt{a}\sqrt{c}$.

Давайте рассмотрим каждый пункт:

а) Первый и второй одночлены: $9x^2y^4 + 6xy^3$

• $a = 9$, $b = 6$, $c = 0$ (так как третий одночлен отсутствует)
• $b = 2\sqrt{a}\sqrt{c}$ ?
• $6 = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{0}$ - условие не выполняется, поэтому нельзя выделить полный квадрат суммы.

б) Первый и третий одночлены: $9x^2y^4 + 25y^2$

• $a = 9$, $b = 0$ (так как второй одночлен отсутствует), $c = 25$
• $b = 2\sqrt{a}\sqrt{c}$ ?
• $0 = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{25}$ - условие не выполняется, поэтому нельзя выделить полный квадрат суммы.

в) Второй и третий одночлены: $6xy^3 + 25y^2$

• Этот пункт можно рассмотреть как полный квадрат суммы двух членов, но обратите внимание, что их корни (по $\sqrt{a}$ и $\sqrt{c}$) должны быть целыми числами.
• $a = 6$, $b = 0$ (так как первый одночлен отсутствует), $c = 25$
• $b = 2\sqrt{a}\sqrt{c}$ ?
• $0 = 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{25}$ - условие не выполняется, поэтому нельзя выделить полный квадрат суммы.

Итак, в данном многочлене невозможно выделить полный квадрат суммы, удовлетворяющий данным условиям.