Question

Напишите уравнение касательной к графику функцииf (x) = 4^x в точке 0 = 1.

Answer 1

Уравнение касательной к графику функции в данной точке: y=f'(x0)x+(f(x0)−x0f'(x0)).

(У касательной y=kx+b угловой коэффициент \(k\) равен значению производной в данной точке, к тому же, касательная проходит через точку (x0;f(x0)). Из этого получается уравнение f(x0)=f'(x0)x0+b, из которого выражается коэффициент b.)

Вначале находим угловой коэффициент касательной:

f'(x)=(x2+3x+4)'=2x+3f'(x0)=2⋅1+3=5

Затем находим коэффициент b из уравнения касательной:

f(x0)−x0f'(x0)=(12+3⋅1+4)−1⋅5=3

Значит, уравнение касательной имеет вид: y=5x+3.

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = 4^x в точке x = 0, мы должны найти производную функции и затем подставить значение x = 0.

Сначала найдем производную функции f(x) = 4^x:

f(x) = 4^x

Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

f'(x) = ln(4) * 4^x

Теперь подставим x = 0:

f'(0) = ln(4) * 4^0 f'(0) = ln(4) * 1 f'(0) = ln(4)

Таким образом, производная функции f(x) в точке x = 0 равна ln(4).

Теперь мы можем записать уравнение касательной к графику функции в точке (0, 1) используя формулу для уравнения касательной:

y - y₁ = m(x - x₁),

где (x₁, y₁) - координаты точки на графике (в данном случае (0, 1)), m - наклон (значение производной в данной точке).

Подставляя значения, получим:

y - 1 = ln(4)(x - 0).

Упростим:

y = ln(4)x + 1.

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x) = 4^x в точке (0, 1) равно y = ln(4)x + 1.