Question

∫ax^2+bx+c/(x+g)(x^2+px+q)dx= a=7;b=-2;c=0;g=-2;p=2;q=3.Требуется решение через разложение дроби на простейшие итд

Answer 1

Решение на фотографии:

Answer 2

Давайте разложим дробь на простейшие и найдем интеграл:

Исходная дробь:

$$\frac{ax^2 + bx + c}{(x + g)(x^2 + px + q)}$$

Значения коэффициентов:

$$a = 7, \quad b = -2, \quad c = 0, \quad g = -2, \quad p = 2, \quad q = 3$$

Раскладываем на простейшие:

$$\frac{ax^2 + bx + c}{(x + g)(x^2 + px + q)} = \frac{A}{x + g} + \frac{Bx + C}{x^2 + px + q}$$

Для начала найдем коэффициент A:

$$\frac{ax^2 + bx + c}{(x + g)(x^2 + px + q)} = \frac{A}{x + g} + \frac{Bx + C}{x^2 + px + q}$$

Умножим обе стороны на общий знаменатель и приравняем числители:

$$ax^2 + bx + c = A(x^2 + px + q) + (Bx + C)(x + g)$$

Раскроем скобки:

$$ax^2 + bx + c = Ax^2 + Apx + Aq + Bx^2 + Bgx + Cx + Cg$$

Сгруппируем одинаковые степени x:

$$ax^2 + bx + c = (A + B)x^2 + (Ap + Bg + C)x + (Aq + Cg)$$

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

1. При $x^2$: $A + B = a = 7$
2. При $x$: $Ap + Bg + C = b = -2$
3. При свободном члене: $Aq + Cg = c = 0$

Из третьего уравнения получаем $Cg = 0$, следовательно, $C = 0$.

Из второго уравнения: $Ap + Bg = b = -2$

Из первого уравнения: $A + B = a = 7$. Таким образом, $B = 7 - A$.

Подставляем во второе уравнение: $Ap + (7 - A)g = -2$

$Ap + 7g - Ag = -2$

$Ap - Ag = -2 - 7g$

$A(p - g) = -2 - 7g$

$A = \frac{-2 - 7g}{p - g}$

Подставляем известные значения коэффициентов: $A = \frac{-2 - 7(-2)}{2 - (-2)} = -\frac{12}{4} = -3$

Таким образом, $A = -3$ и $B = 7 - (-3) = 10$.

Получаем разложение:

$$\frac{ax^2 + bx + c}{(x + g)(x^2 + px + q)} = \frac{-3}{x + g} + \frac{10x}{x^2 + px + q}$$

Теперь мы можем интегрировать обе дроби:

1. $\int \frac{-3}{x + g} dx = -3 \ln |x + g| + C_1$
2. $\int \frac{10x}{x^2 + px + q} dx = 5 \ln |x^2 + px + q| + C_2$

Итак, окончательный интеграл:

$$\int \frac{ax^2 + bx + c}{(x + g)(x^2 + px + q)} dx = -3 \ln |x + g| + 5 \ln |x^2 + px + q| + C$$

где $C = C_1 + C_2$ - произвольная постоянная.