Question

Найдите все значения параметра a, при которых система имеет единственное решение. В ответе укажите наименьшее целое положительное значение a (a2−5a)x−4y=2 { x+y=3;

Answer 1

Чтобы система имела единственное решение, коэффициенты при соответствующих переменных не должны быть пропорциональны:

$\dfrac{1}{a^2-5a} \neq \dfrac{1}{-4}\\a^2-5a \neq -4\\a^2-5a+4 \neq 0$

Корни легко находятся по теореме Виета: $a_1=1, \quad a_2=4.$

$(a-1)(a-4) \neq 0\\a \neq 1\\a \neq 4$

Поэтому $a \in (-\infty;1) \cup(1;4) \cup(4; + \infty)$.

Наименьшее целое положительное значение — это 2.

Answer 2

Для того чтобы система имела единственное решение, условия для матрицы коэффициентов должны быть такими, что она будет обратимой. В данной системе у нас есть два уравнения:

1. $a^2 - 5a)x - 4y = 2$
2. $x + y = 3$

Выразим из второго уравнения $y = 3 - x$ и подставим это в первое уравнение:

$a^2 - 5a)x - 4(3 - x) = 2$

Раскроем скобки:

$a^2x - 5ax - 12 + 4x = 2$

Упростим:

$a^2x - (5a - 4)x = 14$

Факторизуем $x$:

$x(a^2 - 5a + 4) = 14$

Теперь мы хотим, чтобы это уравнение имело единственное решение для $x$, что означает, что коэффициент перед $x$ должен быть отличен от нуля, то есть $a^2 - 5a + 4 \neq 0$.

Решим квадратное уравнение:

$a^2 - 5a + 4 = 0$

Факторизуем:

$(a - 4)(a - 1) = 0$

Из этого следует, что $a = 4$ или $a = 1$. Однако, для $a = 1$ система не будет иметь единственное решение, так как коэффициент перед $x$ станет равен нулю.

Итак, наименьшее положительное целочисленное значение $a$, при котором система имеет единственное решение, это $a = 4$.