Question

Вычисли наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=10⋅sinx−17⋅cosx.

Answer 1

Ответ:

По формуле вспомогательного угла:

4\sin x-16\cos x= \sqrt{4^2+4^4}\sin(x-\arcsin \frac{16}{ \sqrt{4^2+4^4} } )=4 \sqrt{17} \sin(x-\arcsin\frac{4}{\sqrt{17} })4sinx−16cosx=

4

2

+4

4

sin(x−arcsin

4

2

+4

4

16

)=4

17

sin(x−arcsin

17

4

)

Поскольку синус принимает свои значения - [-1;1], то

\begin{lgathered}-1 \leq \sin(x-\arcsin\frac{4}{\sqrt{17} } )\leq 1\\ \\ -4 \sqrt{17} \leq \sin(x-\arcsin\frac{4}{\sqrt{17} }) \leq 4 \sqrt{17}\end{lgathered}

−1≤sin(x−arcsin

17

4

)≤1

−4

17

≤sin(x−arcsin

17

4

)≤4

17

Наибольшее - 4 \sqrt{17}4

17

и наименьшее - (-4 \sqrt{17} )(−4

17

)

Answer 2

Для вычисления наибольшего и наименьшего значений функции y(x) = 10⋅sin(x) - 17⋅cos(x), мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций и их амплитудами.

Функция y(x) представляет собой комбинацию синуса и косинуса, которые имеют период 2π. Известно, что максимальное значение синуса равно 1, а минимальное -1, а максимальное значение косинуса также равно 1, а минимальное -1.

Итак, наибольшее значение функции y(x) будет при максимальных значениях синуса и косинуса, а наименьшее значение функции y(x) будет при минимальных значениях синуса и косинуса.

Наибольшее значение: y_max = 10⋅1 - 17⋅1 = 10 - 17 = -7

Наименьшее значение: y_min = 10⋅(-1) - 17⋅(-1) = -10 + 17 = 7

Таким образом, наибольшее значение функции y(x) равно -7, а наименьшее значение равно 7.