Question

Преобразуй произведение в сумму cos(10x+5y)⋅cos(3x−13y)

Answer 1

$\frac{1}{2}(cos(10x+5y+3x-13y)+cos(10x+5y-3x+13y))=\frac{1}{2}(cos(13x-8y)+cos(7x+18y))$

Answer 2

Для преобразования данного произведения в сумму можно использовать формулу двойного угла для косинуса:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Применим эту формулу к исходному выражению:

cos(10x + 5y)cos(3x - 13y) = [cos(10x)cos(3x) - sin(10x)sin(3x)][cos(5y)cos(-13y) - sin(5y)sin(-13y)]

Теперь применим формулы двойного угла для синуса:

sin(2A) = 2sin(A)cos(A)

cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)

Применим эти формулы к нашему выражению:

cos(10x + 5y)cos(3x - 13y) = [(cos(10x)cos(3x) - 2sin(10x)sin(3x))(cos(5y)cos(-13y) + 2sin(5y)sin(-13y))]

Теперь применим формулы суммы и разности для косинуса:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Применим эти формулы к нашему выражению:

cos(10x + 5y)cos(3x - 13y) = [(cos(10x + 3x) - 2sin(10x)sin(3x))(cos(5y - 13y) + 2sin(5y)sin(13y))]

Продолжая упрощать полученное выражение, мы можем выразить его в виде суммы:

cos(10x + 5y)cos(3x - 13y) = [cos(13x) - 2sin(10x)sin(3x)][cos(-8y) + 2sin(5y)sin(13y)]

Таким образом, исходное произведение преобразуется в сумму:

cos(10x + 5y)cos(3x - 13y) = cos(13x)cos(-8y) + 2sin(10x)sin(3x)cos(-8y) - 2sin(5y)sin(13y)cos(13x) + 4sin(10x)sin(3x)sin(5y)sin(13y)