Question

Даны равнобедренные треугольники с периметром 62. Определи стороны того треугольника, у которого площадь наибольшая.

Answer 1

Ответ:

Боковые стороны 15.5

Основание 31

Объяснение:

x - боковая сторона треугольника

(62-2x) - основание треугольника

S=(62-2x)*h/2 - площадь треугольника

h - высота, опущенная на основание

h=√(x^2-[(62-2x)/2]^2)=√(x^2-0,5(62^2-4*62x+x^2))=√(x^2-1922+248x-x^2)=

=√(248x-1922)

S(x)=0.5*(62-2x)*√(248x-1922);

S(x)=(31-x)√(248x-1922);

Найдем максимум функции (если он есть).

Производная функции:

S'(x)= -√(248x-1922)+0.5(31-x)(248x-1922)^(-1/2)*248=

=-√(248x-1922)+[124(31-x)]/√(248x-1922)

Приравниваем производную к 0:

S(x)=0

[124(31-x)]/√(248x-1922)-√(248x-1922)=0;

124(31-x)]-(248x-1922)=0;

Заметим, что производная существует не на всей числовой оси:

(248x-1922)≥0;

x≥1922/248

x≥7.75

3844-124x-248x+1922=0;

-372x = -5766;

x= -5766/-372=15,5

Экстремум у функции есть. Определим его характер:

S’(15)=[124(31-15)/ √(248*15-1922) - √(248*15-1922)=

124*16/√1798-1798=1984/42.4 -42.4=4.39.

S’(16)= )=[124(31-16)/ √(248*16-1922) - √(248*16-1922)=

=1860/45,2 – 45,2= -3,8

В этой точке – максимум.  

Определим все стороны треугольника:

Боковые стороны 15.5

Основание 62-(15.5+15.5)=31

Answer 2

Давайте обозначим равнобедренный треугольник следующим образом:

Пусть a - длина равных сторон треугольника, и b - длина третьей стороны.

Так как треугольник равнобедренный, то a = a, и третья сторона равна b.

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

2a + b = 62.

Также нам известно, что площадь равнобедренного треугольника можно выразить через его стороны по следующей формуле:

S = (b/4) * √(4a^2 - b^2).

Мы хотим найти максимальное значение площади S. Для этого нам нужно максимизировать выражение под корнем, то есть 4a^2 - b^2.

Используем уравнение для периметра, чтобы выразить b:

b = 62 - 2a.

Теперь подставим это значение b в выражение для площади S:

S = ((62 - 2a)/4) * √(4a^2 - (62 - 2a)^2).

Теперь у нас есть выражение для площади S в зависимости от a. Для нахождения максимального значения площади, мы можем взять производную от этого выражения по a, прировнять ее к нулю и решить полученное уравнение для a.

Производная выражения S по a:

dS/da = -((62 - 2a)/4) * 2 * (62 - 2a) - ((62 - 2a)/4) * (-2(62 - 2a)).

Приравниваем производную к нулю:

-((62 - 2a)/4) * 2 * (62 - 2a) - ((62 - 2a)/4) * (-2(62 - 2a)) = 0.

Решаем это уравнение относительно a:

(62 - 2a)^2 - (62 - 2a)^2 = 0.

Упрощаем:

(62 - 2a)^2 = 0.

Решения этого уравнения нет, так как квадрат никогда не может быть равен нулю.

Из этого следует, что у нас нет критических точек, и площадь S не имеет максимума. Следовательно, не существует равнобедренного треугольника с периметром 62, у которого площадь была бы наибольшей.