Question

Решите: 1) ax>2; 2) 5(2a-x)<4ax+5; 3) √(x+a)+√(4a-x)+√(a-2)+√(5-a)≥0.

Answer 1

Ответ:

1) Перенесем ax в правую сторону

√(5–4x–x2)=3a+3–ax

y=√(5–4x–x2) –возведем в квадрат и заметим, что это уравнение полуокружности:

у2=–х2–4х+5

y2=–(x2+4x+4–9)

y2=–((x+2)2–9)

y2=–(x+2)2+9

(x+2)2+y2=32 –уравнение полуокружности с центром в точке (–2;0) и радиусом R=3

2)y=–ax+3a+3 – уравнение прямой с коэф. угла наклона –а и проходящяя через точку (3;3)

3) ровно одну точку касания уравнения имеют при а=0

И при а=–tgã tgā€(3/8;3/2] (при таких тангенсах уравнения имеют одну точку пересечения)

= > a€(–3/8;–3/2]

Ответ: а€(–3/8;–3/2]\/{0}

Answer 2

Давайте решим данные неравенства по очереди:

1. $ax > 2$:

Чтобы решить это неравенство относительно $x$, нужно разделить обе стороны на $a$, но при этом нужно учитывать знак $a$:

• Если $a > 0$, то знак неравенства не меняется.
• Если $a < 0$, то знак неравенства меняется.

Итак, решение зависит от значения $a$:

• Если $a > 0$, то $x > \frac{2}{a}$.
• Если $a < 0$, то $x < \frac{2}{a}$.

2. $5(2a - x) < 4ax + 5$:

Раскроем скобки и упростим неравенство: $10a - 5x < 4ax + 5$.

Переносим все члены с $x$ влево, а все члены без $x$ вправо: $10a - 4ax < 5x + 5$.

Факторизуем $x$ справа: $x(5 - 4a) < 5 + 10a$.

Теперь разделим обе стороны на $5 - 4a$, учитывая знак $5 - 4a$:

• Если $5 - 4a > 0$ (то есть $a < \frac{5}{4}$), то знак неравенства не меняется.
• Если $5 - 4a < 0$ (то есть $a > \frac{5}{4}$), то знак неравенства меняется.

Итак, решение зависит от значения $a$:

• Если $a < \frac{5}{4}$, то $x < \frac{5 + 10a}{5 - 4a}$.
• Если $a > \frac{5}{4}$, то $x > \frac{5 + 10a}{5 - 4a}$.

3. $\sqrt{x + a} + \sqrt{4a - x} + \sqrt{a - 2} + \sqrt{5 - a} \geq 0$:

Чтобы сумма корней была больше или равна нулю, каждый из корней должен быть больше или равен нулю.

Учтем ограничения под корнями:

• $x + a \geq 0$, что означает $x \geq -a$.
• $4a - x \geq 0$, что означает $x \leq 4a$.
• $a - 2 \geq 0$, что означает $a \geq 2$.
• $5 - a \geq 0$, что означает $a \leq 5$.

Совместив эти ограничения, получаем: $2 \leq a \leq 5$ и $x \geq -a$ и $x \leq 4a$.

Следовательно, решение данного неравенства зависит от ограничений на $a$ и $x$, а именно $2 \leq a \leq 5$, $x \geq -a$ и $x \leq 4a$.